11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Возведение уравнения в чётную степень
ИдеяРаньше говорили: "чётная степень корни портит". Но это не совсем так — она портит равносильность только на всей прямой. Если заранее ограничиться множеством $M$, где обе части уравнения неотрицательны, возведение в чётную степень снова становится безопасным, равносильным переходом.
УтверждениеПусть $2m$ — чётное число и в каждой точке множества $M$ обе функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны. Тогда на $M$ равносильны уравнения $f(x)=g(x)$ и $(f(x))^{2m}=(g(x))^{2m}$.
Пример
Решим уравнение $\sqrt[3]{1-2x}=\sqrt{1-x}$.
Все корни лежат во множестве $M=\left(-\infty;\,\tfrac12\right]$ (где $1-x\ge0$ и $1-2x\ge0$). На $M$ обе части неотрицательны, поэтому возводим в 6-ю степень: $(\sqrt[3]{1-2x})^6=(\sqrt{1-x})^6$, что даёт $x^3+x^2-x=0$.
Корни: $x_1=0$, $x_2=\tfrac{-1-\sqrt5}{2}$, $x_3=\tfrac{-1+\sqrt5}{2}$. Из них $x_3\notin M$ — отбрасываем.
Ответ: $0;\ \tfrac{-1-\sqrt5}{2}$.
Частая ошибкаВозводят уравнение в квадрат и сразу считают все найденные корни равносильными, не проверив принадлежность корня множеству $M$. Условие неотрицательности обеих частей — не формальность, а именно то, что делает переход равносильным; корни вне $M$ нужно отбрасывать.
Запомни
Возведение в чётную степень на M
- сначала находим $M$ — где обе части $f,g$ неотрицательны;
- на $M$ уравнения $f=g$ и $f^{2m}=g^{2m}$ равносильны, вне $M$ — нет гарантий;
- после решения $f^{2m}=g^{2m}$ отбираем только корни, лежащие в $M$;
- приём работает и для уравнений с модулем: $|a|=|b|\Leftrightarrow a^2=b^2$ — на всей прямой, так как модуль всегда неотрицателен.