🔑ИдеяУмножение обеих частей равенства на одно и то же ненулевое число не меняет его смысла. С функцией то же самое: если $\varphi(x)$ нигде на $M$ не обращается в ноль, домножение на неё не создаёт и не убивает корни — уравнение остаётся равносильным на $M$.
📐УтверждениеПусть в каждой точке множества $M$ функция $\varphi(x)$ определена и $\varphi(x)\ne0$. Тогда на $M$ равносильны уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$.
Приём особенно полезен, когда умножение на $\varphi(x)$ убирает знаменатель или превращает произведение косинусов в разность синусов по формуле — тогда новое уравнение решить намного проще исходного.
Все корни лежат в $M=(-4;1)$, где $\varphi(x)=\sqrt{4-3x-x^2}$ определена и $\ne0$. Умножая на $\varphi(x)$, получаем на $M$ равносильное уравнение $\sin x=\tfrac12$.
Из серии решений $\tfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ множеству $M$ принадлежат только $\tfrac{\pi}{6}$ и $-\tfrac{7\pi}{6}$. Ответ: $\tfrac{\pi}{6};\ -\tfrac{7\pi}{6}$.
⚠️Частая ошибкаУмножают на $\varphi(x)$, которая на части множества обращается в ноль — например на $\sin x$ без исключения точек $x=\pi k$. Тогда переход из уравнения-следствия становится настоящим уравнением-следствием: могут появиться посторонние корни, и итог нужно проверять подстановкой.
Запомни
🧠Умножение на φ(x)
условие равносильности — $\varphi(x)$ определена и $\varphi(x)\ne0$ на всём $M$;
если $\varphi(x)=0$ хоть где-то на $M$ — равносильность нарушается, нужна отдельная проверка;
приём удобен для избавления от знаменателя и для тригонометрических тождеств (например, домножение на $\sin x$, чтобы применить формулу двойного угла).