11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
10.4*. Другие преобразования уравнений
ИдеяКроме степени и умножения на функцию, равносильность на множестве $M$ дают ещё несколько привычных приёмов: потенцирование/логарифмирование, сокращение одинаковых слагаемых и применение формул. У каждого — своё "естественное" множество $M$, где переход безопасен.
Потенцирование и логарифмирование
Пусть $a>0,\ a\ne1$, и на $M$ обе $f(x),g(x)$ положительны. Тогда на $M$ равносильны $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ и $f(x)=g(x)$.
Переход "логарифм → без логарифма" называют потенцированием, обратный — логарифмированием.
Пример: $\lg(1-x^2)=\lg2x$ на $M=(0;1)$ равносильно $1-x^2=2x$, откуда корень $\sqrt2-1$ (второй корень уравнения не входит в $M$).
Приведение подобных членов и формулы
1
$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0$ равносильно $f(x)=0$ на области существования $\varphi(x)$.
2
Применение формулы (например, $\mathrm{ctg}\,x=1/\mathrm{tg}\,x$) равносильно на $M$, где определены обе части формулы.
Пример: $x^2-2x+\log_2x=3+\log_2x$ на $M=(0;+\infty)$ сводится к $x^2-2x-3=0$ — корень $x=3$ (второй корень $-1\notin M$).
Частая ошибкаПосле сокращения $\log_2x$ в обеих частях "забывают", что уравнение по-прежнему решается только на множестве $M$, где $\log_2x$ вообще существует ($x>0$). Получают все корни упрощённого уравнения, включая те, что дают отрицательный $x$ и не имеют смысла в исходном.
Запомни
Другие равносильные переходы
- потенцирование логарифма — нужна положительность обеих частей на $M$;
- сокращение слагаемых — нужна определённость сокращаемой функции на $M$;
- применение формулы — нужна определённость обеих частей формулы на $M$;
- во всех случаях сначала фиксируем $M$, потом упрощаем, потом отбираем корни из $M$.