11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Возведение неравенства в чётную степень
ИдеяЕсли оба неотрицательных числа сравнили: одно больше другого — то и их квадраты (кубы в чётной степени и т.д.) сохраняют то же соотношение. На этом простом факте строится равносильность неравенства и его "возведённой" версии — при условии, что обе части неотрицательны.
УтверждениеПусть $2m$ — чётное число и в каждой точке $M$ обе функции $f(x),g(x)$ неотрицательны. Тогда на $M$ равносильны неравенства $f(x)>g(x)$ и $(f(x))^{2m}>(g(x))^{2m}$.
Пример
Решим неравенство $\sqrt{x+1}>\sqrt[3]{3x+1}$.
Все решения лежат в $M=[-1;+\infty)$. Разбиваем на два случая:
1
При $3x+1<0$, т.е. $x\in\left[-1;-\tfrac13\right)$ — левая часть неотрицательна, правая отрицательна: неравенство верно автоматически.
2
При $x\in\left[-\tfrac13;+\infty\right)$ обе части неотрицательны, возводим в 6-ю степень: $(x+1)^3>(3x+1)^2$, откуда $x(x^2-6x-3)>0$.
Из решений $(3-\sqrt{12};0)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$ на этом множестве остаются $\left[-\tfrac13;0\right)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$.
Ответ: $[-1;0)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$.
Частая ошибкаВозводят неравенство в квадрат без проверки знаков обеих частей — например, когда правая часть отрицательна, а левая (например, модуль) неотрицательна. В таком случае неравенство $f>g$ верно автоматически (отрицательное всегда меньше неотрицательного), и его вообще не нужно возводить в степень — только терять на этом корни.
Запомни
Возведение неравенства в чётную степень
- работает только там, где обе части $f,g\ge0$ — сначала находим это множество;
- если правая часть может быть отрицательной — разбиваем решение на случаи "правая часть < 0" (автоматически верно) и "обе части ≥ 0" (возводим в степень);
- для неравенств с модулем ($|a|>|b|$) обе части всегда неотрицательны — возводим в квадрат сразу на всей прямой.