🔑
ИдеяЕсли оба неотрицательных числа сравнили: одно больше другого — то и их квадраты (кубы в чётной степени и т.д.) сохраняют то же соотношение. На этом простом факте строится равносильность неравенства и его "возведённой" версии — при условии, что обе части неотрицательны.
Пример из учебника
Решим неравенство $\sqrt{x+1}>\sqrt[3]{3x+1}$.
Все решения лежат в $M=[-1;+\infty)$. Разбиваем на два случая:
1
При $3x+1<0$, т.е. $x\in\left[-1;-\tfrac13\right)$ — левая часть неотрицательна, правая отрицательна: неравенство верно автоматически.
2
При $x\in\left[-\tfrac13;+\infty\right)$ обе части неотрицательны, возводим в 6-ю степень: $(x+1)^3>(3x+1)^2$, откуда $x(x^2-6x-3)>0$.
Из решений $(3-\sqrt{12};0)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$ на этом множестве остаются $\left[-\tfrac13;0\right)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$.
Ответ: $[-1;0)\cup(3+\sqrt{12};+\infty)$.
⚠️
Частая ошибкаВозводят неравенство в квадрат без проверки знаков обеих частей — например, когда правая часть отрицательна, а левая (например, модуль) неотрицательна. В таком случае неравенство $f>g$ верно автоматически (отрицательное всегда меньше неотрицательного), и его вообще не нужно возводить в степень — только терять на этом корни.