🔑ИдеяНеравенство можно домножить на выражение с $x$ — как две чашки весов можно умножить на одно и то же положительное число, не нарушив, какая чашка тяжелее. Главное — множитель $\varphi(x)$ должен быть положителен на всём множестве $M$, где мы работаем, иначе знак неравенства может "перевернуться" незаметно для нас.
📐УтверждениеПусть в каждой точке множества $M$ функция $\varphi(x)$ определена и положительна. Тогда на множестве $M$ равносильны неравенства $f(x) \gt g(x)$ и $f(x)\varphi(x) \gt g(x)\varphi(x)$.
Множество $M$ обычно берут равным области определения исходного неравенства — тогда после умножения не нужно отдельно проверять посторонние корни, достаточно пересечь ответ с $M$.
2На $M$ функция $\varphi(x)=\sqrt{4-x^2}$ определена и положительна — можно домножить (1) на неё.
3Получаем равносильное на $M$ неравенство $x^2 \lt 2x+3$, то есть $(x-3)(x+1)\lt 0$: $x\in(-1;\,3)$.
4Пересекаем с $M=(-2;2)$: остаётся $x\in(-1;\,2)$.
Ответ: $(-1;\,2)$.
⚠️Частая ошибкаОтвет конечного неравенства нельзя записывать без пересечения с $M$. Решение $(-1;3)$ у промежуточного неравенства $x^2\lt2x+3$ — это ответ не задачи (1), а только вспомогательного неравенства. Забыть про $M=(-2;2)$ значит потерять условие существования $\sqrt{4-x^2}$ и получить лишний кусок $[2;3)$ в ответе.
Запомни
🧠Умножение неравенства на функцию
множитель $\varphi(x)$ обязан быть определён и положителен на всём $M$;
если $\varphi(x)$ отрицательна на $M$ — знак неравенства меняется на противоположный;
ответ — это пересечение решения упрощённого неравенства с множеством $M$, не оно само;
обычно $M$ = область определения исходного неравенства.