💡 Из жизни: представь рецепт пирога, где вместо конкретного
количества муки написано «$a$ стаканов муки». Пока $a$ — просто буква, испечь
пирог нельзя. Но как только ты решил, что берёшь 3 стакана, — рецепт превращается
в конкретные действия с конкретными числами, и в конце получается готовый пирог
(число). Буквенное выражение — это такой «рецепт»: он становится числом только
после того, как вместо букв подставлены конкретные числа.
Рассмотрим целое выражение с одной буквой: $a^2+5a-13$. Если всюду, где стоит
буква $a$, подставить число $3$,
получится числовое выражение $3^2+5\cdot 3-13$, равное $11$. Это число $11$ и
называют числовым значением целого выражения $a^2+5a-13$ при
$a=3$. Дальше слово «числовое» обычно опускают и говорят просто «значение
выражения», но подразумевают именно это.
Определение. Если в целое выражение вместо каждой буквы
подставить конкретное число (одно и то же число — везде, где эта буква
встречается), то получившееся числовое выражение можно вычислить. Результат
вычисления называют значением целого выражения при выбранных
значениях букв.
Значение того же выражения $a^2+5a-13$ при $a=0$
равно $-13$, а при $a=-0{,}1$ равно
$-13{,}49$. Одно и то же буквенное выражение при разных значениях буквы даёт
разные числа — попробуй переключить значения справа и посмотреть, как меняется
результат.
Если букв несколько
Всё работает точно так же, если в выражение входят две, три или больше букв —
просто вместо каждой буквы подставляют её собственное число, и
везде, где эта буква встречается в записи.
Возьмём целое выражение $0{,}2a+3b-ab+\tfrac74$. Если подставить $a=-0{,}1$ и
$b=2{,}5$, получится числовое выражение, равное $9{,}48$. Это значение выражения
при $a=-0{,}1$ и $b=2{,}5$.
Пример 1. Значение $\tfrac16a-\tfrac1{15}b+c(a+b)$ при $a=3,\ b=-5,\ c=0{,}3$
1
Подставляем числа вместо букв:
$$\tfrac16\cdot 3-\tfrac1{15}\cdot(-5)+0{,}3\cdot(3+(-5)).$$
Складываем дроби с общим знаменателем 30:
$$\tfrac12+\tfrac13-\tfrac35=\tfrac{15}{30}+\tfrac{10}{30}-\tfrac{18}{30}=\tfrac{7}{30}.$$
Пример 2. Значение $x-y+t(z-x)+z(t+y)$ при $x=-0{,}1,\ y=-3{,}2,\ z=1{,}7,\ t=3{,}5$
1
Считаем первую часть: $x-y=(-0{,}1)-(-3{,}2)=3{,}1$.
2
Считаем скобки: $t(z-x)=3{,}5\cdot 1{,}8=6{,}3$ и $z(t+y)=1{,}7\cdot 0{,}3=0{,}51$.
3
Складываем все три части:
$$3{,}1+6{,}3+0{,}51=9{,}91.$$
Подчеркнём: для любого целого выражения при любых значениях входящих в него букв
соответствующее числовое выражение всегда имеет смысл — в целых выражениях нет
деления на букву, а значит нет и риска случайно поделить на нуль.
Доказательства через числовое значение
Понятие значения выражения помогает доказывать утверждения сразу для
всех чисел, а не для одного конкретного.
Задача 1. Докажем, что для любого числа $x$ верно неравенство
$x^2+1\geq 1$. Действительно, квадрат любого числа $x$ — неотрицательное число,
то есть $x^2\geq 0$. Если к неотрицательному числу прибавить $1$, получится
число не меньше $1$. Значит, $x^2+1\geq 1$ при любом $x$, что и требовалось
доказать.
Задача 2. Докажем, что для любых чисел $x$ и $y$ верно
неравенство $x^2+y^2\geq 0$. Число $x^2$ неотрицательно при любом $x$, число
$y^2$ неотрицательно при любом $y$, а сумма двух неотрицательных чисел
неотрицательна. Значит, $x^2+y^2\geq 0$ при любых $x$ и $y$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: при подстановке отрицательного
числа забывают заключить его в скобки — и получают неверный знак. Например, при
$x=-0{,}1$ выражение $x^2$ нужно вычислять как $(-0{,}1)^2=0{,}01$, а не как
$-0{,}1^2$, что случайно даёт $-0{,}01$ (сначала возвели в квадрат $0{,}1$, а
потом поставили минус — это уже другое число). Похожая путаница возникает между
$-x^2$ и $(-x)^2$: это разные выражения, и при $x=-0{,}1$ первое равно $-0{,}01$,
а второе — $0{,}01$. Правило простое: какое число подставляешь, такое и
пиши в скобках — со всеми его знаками.
Запомни
🧠 Чтобы найти значение целого выражения, нужно вместо каждой
буквы (везде, где она встречается) подставить её числовое значение и вычислить
получившееся числовое выражение. Для целого выражения это всегда можно сделать —
деления на букву в нём нет, поэтому деления на нуль не возникнет. При подстановке
отрицательных чисел всегда заключай их в скобки, чтобы не потерять знак.