🔑ИдеяКроме умножения на положительную функцию, у нас есть ещё три "законных" способа упростить неравенство на множестве $M$: снять логарифм (потенцирование), сократить одинаковое слагаемое с обеих сторон, применить тождество. Все они работают по одному принципу — если операция корректна в каждой точке $M$, знак неравенства не меняется.
Три способа преобразования
1Потенцирование: если $f(x)\gt0$ и $g(x)\gt0$ на $M$, то $\log_a f(x) \gt \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)$ при $a\gt1$, и наоборот при $0\lt a\lt1$.
2Приведение подобных: если $\varphi(x)$ определена на $M$, то $f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)\gt0 \Leftrightarrow f(x)\gt0$ на $M$ — слагаемое можно сократить, не проверяя знак.
3Применение формул: если обе части тождества определены на $M$, замена одной на другую даёт равносильное на $M$ неравенство того же знака.
Примеры из учебника
Потенцирование: $\lg 4x \lt \lg(1-x^2)$ на $M=(0;1)$ равносильно $4x\lt1-x^2$, ответ $\left(0;\,-2+\sqrt5\right)$.
Приведение подобных: $(\sqrt x+1)^2 \gt 5x^2-3x+2\sqrt x$ на $M=[0;+\infty)$ сокращает $2\sqrt x$ с обеих сторон, остаётся $5x^2-4x-1\lt0$, ответ $[0;\,1)$.
Применение формул: $\log_9x^2+2\log_3x \gt (5-x)^{\log_{5-x}2}$ на $M=(0;4)\cup(4;5)$ по формулам сводится к $2\log_3x\gt2$, ответ $(3;4)\cup(4;5)$.
⚠️Частая ошибкаПотенцировать при $0\lt a\lt1$ и "забыть" перевернуть знак — самая частая ошибка. При основании меньше единицы логарифм убывает: чем больше $f(x)$, тем меньше $\log_a f(x)$, поэтому $\log_a f(x)\gt\log_a g(x)$ даёт $f(x)\lt g(x)$, а не $\gt$.
Запомни
🧠Другие преобразования неравенств
потенцирование при $a\gt1$ сохраняет знак, при $0\lt a\lt1$ — меняет на противоположный;
слагаемое $\varphi(x)$ можно сократить, если оно определено на всём $M$;
тождество применяют, только если обе его части определены на $M$;