🔑ИдеяВ сложных неравенствах преобразования из предыдущих пунктов применяют цепочкой — как спускаешься по лестнице со ступеньки на ступеньку, каждый раз получая неравенство попроще, пока не останется элементарное. Каждый шаг равносилен на своём множестве, поэтому финальный ответ пересекают со всеми условиями области определения по пути.
Пример: возведение в куб + приведение подобных
Решим неравенство $$\sqrt x - 1 \gt \sqrt[3]{x^2+x\sqrt x-2x+3\sqrt x-7}.$$
1Возводим обе части в куб (нечётная степень — преобразование равносильно): $(\sqrt x-1)^3 \gt x^2+x\sqrt x-2x+3\sqrt x-7$. Обе части определены при $x\ge0$, значит $M=[0;+\infty)$.
2Раскрываем куб разности и сокращаем одинаковые слагаемые $x\sqrt x$ с обеих сторон (приведение подобных на $M$).
3После упрощения получаем $x^2+x-6\lt0$, то есть $(x+3)(x-2)\lt0 \Rightarrow x\in(-3;\,2)$.
4Пересекаем с $M=[0;+\infty)$: остаётся $x\in[0;\,2)$.
Ответ: $[0;\,2)$.
Другие примеры из учебника
Логарифмическая цепочка: $\log_2 2x+\log_4(x+1)^2+\sqrt{x-1} \gt 2\log_2(x+1)+\sqrt{x-1}$ на $M=[1;+\infty)$ сокращает $\sqrt{x-1}$, приводит формулы логарифмов и сводится к $2x(x+1)\gt(x+1)^2$, ответ $[1;\,1+\sqrt5)$.
Неравенство с корнями из квадратов: после умножения на общий положительный множитель и применения $\sqrt{a^2}=|a|$ разбирают отдельно случаи $x\lt2$ и $x\gt3$ — на каждом множестве $|a|$ раскрывается по-своему.
⚠️Частая ошибкаПересекать с областью определения нужно в самом конце, а не после первого шага — иначе легко случайно "обрезать" решение раньше времени. На каждом промежуточном шаге держат в уме множество $M$, но само пересечение делают один раз, с финальным упрощённым неравенством.
Запомни
🧠Применение нескольких преобразований
шаги цепочки — умножение, потенцирование, сокращение, тождества — идут друг за другом;
на каждом шаге отслеживают своё множество, где преобразование равносильно;
если множества разных шагов не совпадают, рассматривают случаи отдельно;
ответ = решение финального простого неравенства, пересечённое со всеми M.