11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
11.6*. Неравенства с дополнительными условиями
ИдеяЧасто в задаче просят решить неравенство не на всей числовой прямой, а только внутри заданного отрезка — как искать нужную улицу не на карте всего города, а только в пределах одного района. Иногда это условие даже упрощает решение, а иногда просто отсекает лишнее уже в самом конце.
Два сценарияДополнительное условие $x\in[a;b]$ можно использовать двумя способами: 1) заметить, что на этом отрезке одна из частей неравенства имеет постоянный знак, и это сразу упрощает задачу; 2) решить неравенство обычным способом на всей прямой, а условие применить только на последнем шаге — как фильтр.
Пример
Найдём решения неравенства $\sin2x-\cos x+2\sin x \gt \tfrac{\sqrt2}{2}$ на отрезке $\left[-\tfrac{2\pi}{3};\,\tfrac{2\pi}{3}\right]$.
1
После формулы синуса двойного угла неравенство переписывается как $2\left(\sin x-\tfrac12\right)\left(\cos x+\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\gt0$.
2
На заданном отрезке $\cos x+\tfrac{\sqrt2}{2}\gt0$ всегда — вот тут и помогает дополнительное условие: множитель можно "убрать", он не меняет знак.
3
Остаётся простое $\sin x\gt\tfrac12$, решения которого на этом отрезке — промежуток $\left(\tfrac{\pi}{6};\,\tfrac{2\pi}{3}\right]$.
Ответ: $\left(\tfrac{\pi}{6};\,\tfrac{2\pi}{3}\right]$.
Частая ошибкаКогда условие не облегчает решение (второй сценарий), ученики забывают отобрать из общего решения только те $k\in\mathbb{Z}$, которые реально попадают в заданный отрезок — а не выписывают всю бесконечную серию промежутков как есть.
Запомни
Неравенства с дополнительными условиями
- сначала проверь: не упрощает ли отрезок один из множителей до постоянного знака;
- если нет — реши неравенство целиком, а отрезок примени как фильтр в самом конце;
- для периодических решений — подставь границы отрезка в общую формулу и найди подходящие $k$;
- ответ — только пересечение множества решений с заданным отрезком.