11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Уравнения с модулями
ИдеяМетод промежутков — разбить числовую прямую в точках, где модуль "меняет формулу" (то есть в нулях подмодульных выражений), и на каждом получившемся куске раскрыть модули по правилу знака. Это как ремонт дороги по участкам: на каждом отрезке своя техника работы, а результат потом просто складывают вместе.
Алгоритм1) Решить $f_1(x)=0,\ldots,f_n(x)=0$ и отметить корни на оси — они делят прямую на промежутки. 2) На каждом промежутке все $f_i(x)$ сохраняют знак, поэтому каждый модуль раскрывается однозначно. 3) Решить получившееся уравнение без модулей и отобрать корни, принадлежащие этому промежутку. 4) Объединить корни со всех промежутков.
Пример
Решим уравнение $$|x-1|+|x-2|+|x-3|=6.$$
1
Критические точки: $x=1$, $x=2$, $x=3$ — они делят ось на 4 промежутка.
2
На $(-\infty;1)$ все выражения под модулем отрицательны: уравнение $-(x-1)-(x-2)-(x-3)=6$ даёт $x=0$ — подходит.
3
На $[1;2)$ и $[2;3)$ похожие уравнения дают корни $-2$ и $6$ — оба не попадают в свой промежуток.
4
На $[3;+\infty)$ все выражения неотрицательны: $x-1+x-2+x-3=6$ даёт $x=4$ — подходит.
Ответ: $0;\;4$.
Частая ошибкаНайти корень уравнения на конкретном промежутке и забыть проверить, принадлежит ли он этому промежутку. В примере выше корень $x=-2$ на промежутке $[1;2)$ найден верно, но не входит в $[1;2)$ — значит, его нельзя включать в ответ.
Запомни
Уравнения с модулями
- критические точки — нули подмодульных выражений, они делят ось на промежутки;
- на каждом промежутке модули раскрываются однозначно (по знаку);
- решённый на промежутке корень проверяют на принадлежность именно ему;
- ответ — объединение всех подходящих корней со всех промежутков.