💡 Из жизни: представь весы, на одной чашке которых лежит гиря
«$x+y$», а на другой — гиря «$y+x$». Какие бы числа ты ни выбрал для $x$ и $y$,
весы всегда будут в равновесии — просто потому что от перестановки слагаемых
сумма не меняется. А вот если на одной чашке «$2x-3$», а на другой «$3x+5$», весы
уравновесятся лишь для одного специально подобранного значения $x$ — для всех
остальных они будут «перевешивать» в одну сторону.
Рассмотрим равенство для одночленов: $2aaabb=2ababa$. Оно превращается в верное
числовое равенство при подстановке вместо букв любых чисел: ведь слева и справа
стоит одно и то же произведение чисел, только множители переставлены местами, а
от перестановки множителей произведение не меняется. Так же устроено равенство
для многочленов
$x+y=y+x$: какие числа ни
подставь вместо $x$ и $y$, получится верная числовая сумма.
Определение. Равенство между буквенными выражениями называют
тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство
при подстановке в него вместо букв любых чисел.
Все равенства, которые получаются при перестановке членов многочлена, при
приведении подобных членов, при умножении одночлена на многочлен или многочлена
на многочлен, — тождества. Часто вместо слов «докажем равенство $A=B$» пишут
«докажем тождество $A=B$».
Как доказывают тождество
Чтобы доказать тождество, обе части равенства преобразуют по уже известным
правилам действий с одночленами и многочленами — до тех пор, пока левая и правая
части не станут одинаковыми (или пока не преобразуют только одну часть так, чтобы
она совпала с другой).
Пример 1. Докажем тождество
$(a^2+b)(a^2-b)=a^4-b^2$
1
Раскрываем скобки в левой части по правилу умножения многочленов:
$$(a^2+b)(a^2-b)=a^4+a^2b-a^2b-b^2.$$
2
Приводим подобные члены $a^2b$ и $-a^2b$ — они уничтожаются:
$$a^4+a^2b-a^2b-b^2=a^4-b^2.$$
3
Левая часть преобразовалась в $a^4-b^2$ — то же самое, что и правая часть.
Значит, тождество доказано.
Пример 2. Докажем тождество $a^4-1=(a-1)(a^3+a^2+a+1)$
1
Преобразуем правую часть — раскрываем скобки:
$$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=a^4-a^3+a^3-a^2+a^2-a+a-1.$$
2
Приводим подобные члены — почти все они попарно уничтожаются:
$$a^4-a^3+a^3-a^2+a^2-a+a-1=a^4-1.$$
3
Правая часть равна $a^4-1$ — тому же, что и левая. Тождество доказано.
🧠 Приём, который часто помогает: преобразовать каждую часть
равенства отдельно до одного и того же вида, как в примере
$(a-1)(a^2+a+1)=(a+1)(a^2-a+1)-2$ — обе части сводятся к $a^3-1$, значит они
равны между собой.
Многочлены, равные нулю тождественно
Отдельно выделяют многочлены, которые при любых значениях входящих
в них букв равны нулю — их называют тождественно равными нулю.
Например: $a-a$ и $3x^2-x^2-2x^2$ — оба обращаются в $0$ при любом значении буквы,
потому что после приведения подобных членов от них ничего не остаётся.
Остальные — ненулевые многочлены — могут обращаться в нуль только
при отдельных, специально подобранных значениях букв, но не при всех. Например,
многочлен $a+b$ равен нулю только когда $a=-b$, а многочлен $a^2+b^2+1$ не
обращается в нуль вообще ни при каких числах — ведь квадрат любого числа
неотрицателен, и сумма двух неотрицательных чисел с прибавленной единицей всегда
не меньше $1$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: подставить в равенство одно
значение буквы, увидеть, что оно верное, — и сделать вывод, что перед нами
тождество. Это неверно! Возьмём равенство
$2x-3=3x+5$. При
$x=-8$ обе части равны
$-19$ — равенство верное. Но это не тождество: уже при
$x=0$ левая часть равна
$-3$, а правая $5$ — равенство неверное. Один удачный пример не доказывает
тождество: чтобы быть уверенным, нужно преобразовать обе части и убедиться, что
они совпадают при любых значениях букв, а не проверять числа
наугад.
Запомни
🧠 Тождество — это равенство буквенных выражений, которое
превращается в верное числовое равенство при подстановке любых
чисел вместо букв. Чтобы доказать тождество, обе части преобразуют по правилам
действий с одночленами и многочленами до полного совпадения. Многочлен, который
при любых значениях букв равен нулю, называют тождественно равным нулю (например,
$a-a$). Проверка тождества на одном числовом примере ничего не доказывает — нужно
общее преобразование.