13.4*. Использование монотонности и экстремумов функций
🔑ИдеяПредставь эскалатор, едущий вверх, и другой — едущий вниз. Если они где-то пересекаются, то встреча возможна только в одной точке: чем дальше вправо, тем выше первый и ниже второй, а левее — наоборот. Так и с функциями: если $f(x)$ строго возрастает, а $g(x)$ строго убывает, их графики пересекаются не более одного раза.
📐УтверждениеПусть $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает на промежутке $M$ — общей части областей существования этих функций. Если $x_0 \in M$ и $f(x_0)=g(x_0)$, то $x_0$ — единственный корень уравнения $f(x)=g(x)$.
Доказательство простое: если $x_1 \lt x_0$, то $f(x_1) \lt f(x_0)=g(x_0) \lt g(x_1)$, значит $f(x_1)\ne g(x_1)$; если $x_1 \gt x_0$ — аналогично $f(x_1) \gt g(x_1)$. Слева и справа от $x_0$ равенства быть не может.
Пример из учебника
Решим уравнение $\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt{19-x}$. Функция $f(x)=\sqrt[3]{2x+7}$ возрастает, а $g(x)=\sqrt{19-x}$ убывает на $M=(-\infty;19]$. Подбором находим $x_0=10$: $\sqrt[3]{27}=3$ и $\sqrt{9}=3$ — равенство верно. По утверждению этот корень единственный.
Ответ. $x=10$.
Через производную и через экстремум
Возрастание/убывание часто доказывают производной. В неравенстве $20x^7+28x^5 \gt 35\sin2x-210x$ функция $f(x)=20x^7+28x^5$ возрастает (сумма возрастающих), а $g(x)=35\sin2x-210x$ убывает, так как $g'(x)=70\cos2x-210 \lt 0$ всегда. Значит, $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня — им оказывается $x=0$, откуда решение неравенства $(0;+\infty)$.
Тот же приём работает с единственным экстремумом: у $f(x)=e^x-1-x$ производная $f'(x)=e^x-1$ обращается в нуль только при $x=0$ — это точка минимума, и $f(0)=0$. Значит, $f(x) \gt 0$ при всех $x\ne0$, а уравнение $e^x-1-x=0$ имеет единственный корень $x=0$.
⚠️Частая ошибкаУтверждение работает только когда одна функция возрастает, а другая именно убывает на общей области — если обе возрастают (или обе убывают), вывод о единственности корня не следует автоматически: тогда нужен отдельный анализ (метод интервалов, несколько промежутков монотонности), как в примере с кубическим уравнением $x^3-x^2-x+0{,}1=0$, где функция меняет направление дважды и корней получается три.
Запомни
🧠Монотонность и экстремумы
$f$ возрастает, $g$ убывает на $M$, есть общая точка $\Rightarrow$ она единственная;
возрастание/убывание чаще всего доказывают знаком производной;
единственная точка экстремума функции $\Rightarrow$ вне неё функция строго больше (меньше) значения в этой точке — так уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного корня;
если обе функции монотонны в одну сторону — единственность не гарантирована, нужен отдельный анализ.