11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

13.5*. Использование свойств синуса и косинуса

🔑 ИдеяСинус и косинус живут в "коробке" $[-1;1]$ — выше потолка $1$ и ниже пола $-1$ им не забраться. Если произведение двух таких величин равно $1$ (максимально возможному произведению), то оба множителя обязаны стоять ровно в углах коробки — оба на потолке или оба на полу одновременно. Никакого "почти" тут не бывает.
📐 Приём «рассуждение с числовыми значениями»Если $|\sin x_0| \lt 1$, то из равенства $\sin x_0 \cdot \cos 4x_0=1$ следовало бы $|\cos 4x_0| \gt 1$ — а это невозможно. Значит, решение возможно только когда $\sin x_0=1$ (тогда $\cos 4x_0=1$) или $\sin x_0=-1$ (тогда $\cos 4x_0=-1$).

Пример

Решим уравнение $\sin x \cdot \cos 4x=1$. По рассуждению выше уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$\sin x=1,\ \cos 4x=1 \qquad\text{или}\qquad \sin x=-1,\ \cos 4x=-1$$

Первая система: $x_k=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ — все эти значения дают $\cos4x_k=\cos(2\pi+8\pi k)=1$, система решается полностью. Вторая система: $x_m=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi m$, но $\cos4x_m=\cos(-2\pi+8\pi m)=1\ne-1$ — решений нет.

Ответ. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Ещё пример — неравенство

Решим неравенство $\sin^4 2x+4\cos 8x \ge 5$. Так как $\sin^42x\le1$, для выполнения неравенства нужно $\cos8x=1$, а тогда обязательно $|\sin2x|=1$. Неравенство равносильно системе

$$|\sin 2x|=1,\qquad \cos 8x=1$$

Первое уравнение даёт $x_k=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2}$ — все они автоматически удовлетворяют второму. Ответ. $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$.

⚠️ Частая ошибкаРассуждение "оба множителя на границе" часто даёт несколько систем (совокупность), а не одну — забыть вторую систему $\sin x=-1,\ \cos4x=-1$ легко, но именно её проверка показывает, что решений там нет. Пропускать проверку "лишней" ветки нельзя: иногда решения находятся именно в ней, а не в "очевидной" первой.

Запомни

🧠 Свойства синуса и косинуса
  • $|\sin \alpha| \le 1$ и $|\cos \beta| \le 1$ всегда — это и есть "коробка";
  • произведение/сумма, равные предельному значению, заставляют оба слагаемых/множителя встать на границу одновременно;
  • получаем не одну систему, а совокупность (несколько) — каждую нужно решить и проверить отдельно;
  • тот же приём работает и для неравенств, если правая часть равна сумме максимумов.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике