11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

Равносильность систем

🔑 ИдеяРешение системы двух уравнений с $x$ и $y$ — это точка $(x_0;y_0)$, которая одновременно лежит на "линии" первого уравнения и на "линии" второго. Две системы равносильны, если у них ровно одно и то же множество таких точек — даже если сами уравнения выглядят совершенно по-разному.
📐 ОпределениеРешение системы $f_1(x;y)=g_1(x;y),\ f_2(x;y)=g_2(x;y)$ — упорядоченная пара $(x_0;y_0)$, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные равенства. Две системы называют равносильными, если множества всех их решений совпадают.

Равносильные преобразования систем

1Поменять местами уравнения системы.
2Перенести член одного из уравнений в другую часть с противоположным знаком.
3Умножить обе части одного уравнения на число $\ne0$.
4Заменить одно уравнение суммой этого и другого уравнения системы.
5Метод подстановки: выразить $y$ через $x$ в одном уравнении, подставить в другое.

Пример — метод подстановки

Решим систему $x+y=1,\ \dfrac{2^y}{5^x}=200$. Выразим $x=1-y$ и подставим во второе уравнение:

$$\dfrac{2^y}{5^{1-y}}=200 \;\Leftrightarrow\; 10^y=1000 \;\Leftrightarrow\; y=3$$

Тогда $x=1-3=-2$. Единственное решение $(-2;3)$ — оно же точка пересечения двух прямых после логарифмирования второго уравнения.

Когда решений бесконечно много

Система $x+y=1,\ \log_3x=\log_3(1-y)$ после подстановки $y=1-x$ даёт $\log_3x=\log_3x$ — верно при любом $x \gt 0$. Решения — все пары $(\alpha;\,1-\alpha)$, $\alpha \gt 0$: не точка, а целый луч на прямой $x+y=1$.

Метод линейных преобразований тоже сохраняет равносильность: одно уравнение можно заменить суммой этого уравнения (умноженного на число) и другого (умноженного на число) — например, вычитание уравнений часто превращает систему с модулями в разность квадратов $(|y|-|x|+3)(|y|+|x|+1)=0$.

⚠️ Частая ошибкаПри подстановке легко забыть про область допустимых значений исходных уравнений (например, $\log_3 x$ требует $x \gt 0$). Формально после подстановки уравнение может "потерять" это ограничение — но множество решений системы обязано учитывать его, иначе в ответ попадут посторонние пары чисел.

Запомни

🧠 Равносильность систем
  • решение системы — пара $(x_0;y_0)$, обращающая оба уравнения в верные равенства;
  • перестановка уравнений, перенос членов, умножение на $\ne0$, сложение уравнений — равносильные преобразования;
  • метод подстановки — выразить одно неизвестное, подставить в другое уравнение;
  • решений может быть 0, 1, несколько или бесконечно много (целая линия/луч);
  • всегда следи за областью определения исходных уравнений.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике