11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

Система-следствие

🔑 ИдеяВозведение в квадрат, освобождение от знаменателя, потенцирование — удобные, но "протекающие" преобразования: они не теряют решений исходной системы, но могут добавить лишние. Полученная система — как более широкое сито: всё нужное проходит, но вместе с ним может проскочить и мусор. Поэтому каждый найденный кандидат нужно подставить обратно и проверить.
📐 ОпределениеСистему $\varphi_1=h_1,\ \varphi_2=h_2$ называют следствием системы $f_1=g_1,\ f_2=g_2$, если каждое решение второй является решением первой (но не обязательно наоборот).

К системе-следствию приводят: приведение подобных членов, возведение уравнения в чётную степень, освобождение от знаменателя, потенцирование, а также ряд формул вроде $\sqrt f\cdot\sqrt g \to \sqrt{fg}$ или $\log_af+\log_ag \to \log_a(fg)$.

Пример — приведение подобных

Решим систему $x+y=1,\ 2x^2+2\sqrt x-x=y^2-1+2(1+\sqrt x)$. Подставив $y=1-x$ и приведя подобные, получаем систему-следствие $y=1-x,\ x^2+x-2=0$.

Корни второго уравнения: $x_1=1,\ x_2=-2$, откуда кандидаты $(1;0)$ и $(-2;3)$.

Проверка в исходной системе: пара $(1;0)$ подходит, а $(-2;3)$ — нет ($\sqrt x$ не определён при $x=-2$). Ответ. $(1;0)$.

Ещё примеры-следствия

Возведение в квадрат $\sqrt{x+y-1}=1,\ \sqrt{y-x+2}=2x-2$ даёт кандидатов $(0;2)$ и $(3/2;1/2)$ — проверка оставляет только $(3/2;1/2)$.

Освобождение от знаменателя в $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=2,\ \dfrac{x^3-y^2}{xy}=1$ даёт кандидатов $(0;0)$ и $(2;2)$ — проверка оставляет только $(2;2)$ (в $(0;0)$ знаменатель $xy=0$).

⚠️ Частая ошибкаРешив систему-следствие, ученики нередко сразу записывают все её решения в ответ, забыв, что следствие — это преобразование только в одну сторону. Каждый кандидат обязательно нужно подставить в исходную систему: посторонние решения (нарушение ОДЗ, знаменатель, неверный знак корня) не отсеются сами собой.

Запомни

🧠 Система-следствие
  • следствие — решения исходной системы внутри решений новой, но не наоборот;
  • к следствию приводят: чётная степень, освобождение от знаменателя, потенцирование, некоторые формулы;
  • после решения системы-следствия — обязательная проверка каждого кандидата в исходной системе;
  • посторонние решения — не ошибка вычислений, а естественная плата за "протекающее" преобразование.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике