💡 Из жизни: представь квадратный участок земли со стороной
$(a+b)$, который разделили на четыре прямоугольных грядки: одну сторону разбили
на отрезки $a$ и $b$, и другую сторону — тоже на $a$ и $b$. Получилось четыре
грядки: квадрат $a\times a$, квадрат $b\times b$ и два одинаковых прямоугольника
$a\times b$. Общая площадь всего участка — это сумма площадей всех четырёх
грядок. Именно так устроена
формула квадрата суммы — попробуй
подвигать точку на диаграмме справа и посмотреть, как меняются площади грядок.
По определению степени $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$.
Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, раскроем скобки и приведём
подобные члены.
1
Раскрываем скобки по правилу умножения многочлена на многочлен — каждое
слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй:
$$(a+b)(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b.$$
2
Записываем произведения короче:
$a\cdot a=a^2$,
$b\cdot b=b^2$, а оба слагаемых
$a\cdot b$ и $b\cdot a$ равны между собой (от перестановки множителей
произведение не меняется):
$$a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + ab + ab + b^2.$$
3
Приводим подобные члены
$ab+ab=2ab$
и получаем окончательный результат.
Определение. Равенство
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \quad (1)$$
называют формулой квадрата суммы.
Как читать формулу словами
Буквы $a$ и $b$ в формуле (1) — произвольные числа, поэтому формулу обычно
читают так: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс
удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.
Если читать формулу (1) справа налево, она показывает, что многочлен
$a^2+2ab+b^2$ можно разложить на множители — представить как
произведение двух одинаковых множителей $(a+b)$. Этим приёмом часто пользуются,
когда нужно свернуть громоздкий многочлен обратно в квадрат суммы.
Применяем для быстрых вычислений
Формула квадрата суммы удобна, когда число легко представить в виде суммы
«круглого» числа и маленькой добавки.
Пример 1. Вычислим $51^2$
1
Представляем $51=50+1$ и применяем формулу (1):
$$51^2=(50+1)^2=50^2+2\cdot 50\cdot 1+1^2.$$
Складываем: $2500+100+1=2601$. Значит, $51^2=2601$ — без умножения
«столбиком».
Пример 2. Формулу можно читать и в обратную сторону
1
Выражение $37^2+2\cdot 37\cdot 63+63^2$ устроено как правая часть формулы
(1): квадрат первого числа, удвоенное произведение, квадрат второго.
2
Сворачиваем его в квадрат суммы: $37^2+2\cdot 37\cdot 63+63^2=(37+63)^2$.
3
Считаем сумму в скобках: $37+63=100$, поэтому ответ $100^2=10\,000$ —
гораздо быстрее, чем вычислять каждый квадрат отдельно.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: писать
$(a+b)^2=a^2+b^2$, «забывая» среднее слагаемое. Это неверно! Проверь на числах:
при $a=2$, $b=3$ левая часть $(2+3)^2=5^2=25$, а
$a^2$ $+$
$b^2$
$=4+9=13$ — совсем другое число. Пропавшее слагаемое —
удвоенное произведение $2ab$ —
как раз и объясняется на диаграмме справа: это площади двух «недостающих»
прямоугольников между квадратом $a^2$ и квадратом $b^2$.
Запомни
🧠 Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс
удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Формулу можно читать и в обратную сторону — тогда она
превращается в разложение многочлена $a^2+2ab+b^2$ на множители $(a+b)(a+b)$.
Никогда не «теряй» среднее слагаемое $2ab$ — без него равенство неверно.