🪞ИдеяСопряжённое число — это отражение точки $z$ в зеркале, роль которого играет действительная ось. Мнимая часть меняет знак, действительная остаётся прежней. Смешное совпадение: сумма и произведение зеркальной пары всегда оказываются действительными числами — мнимость "сокращается".
📐ОпределениеЕсли $z=a+bi$, то число $\bar z=a-bi$ называют сопряжённым с числом $z$. Числа $z$ и $\bar z$ называют взаимно сопряжёнными — сопряжённое к $\bar z$ снова есть $z$, то есть $\overline{\bar z}=z$.
Число $z$ действительно тогда и только тогда, когда $\bar z=z$ — ведь равенство $a+bi=a-bi$ возможно лишь при $b=0$.
Свойства сопряжённых чисел
1Сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — всегда действительные числа: $z+\bar z=2a$, $z\bar z=a^2+b^2$.
2Сопряжённое суммы равно сумме сопряжённых: $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$.
3Сопряжённое разности равно разности сопряжённых: $\overline{z_1-z_2}=\bar z_1-\bar z_2$.
4Сопряжённое произведения равно произведению сопряжённых: $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$.
5Сопряжённое частного равно частному сопряжённых (делитель $\ne0$), сопряжённое степени — степени сопряжённого: $\overline{z^n}=(\bar z)^n$.
Следствие
Если число $z$ выражено через число $\alpha$ с помощью произведений, сумм и разностей натуральных степеней $\alpha$, то, заменив в этом выражении $\alpha$ на $\bar\alpha$, получим ровно $\bar z$ — сопряжённое к $z$. Например, если $z=\alpha^2+3\alpha$, то $\bar z=\bar\alpha^2+3\bar\alpha$.
⚠️Частая ошибкаСчитают, что сопряжённое суммы — это сумма модулей или что $\overline{z_1+z_2}$ как-то "перемешивает" части чисел. На самом деле правило простое: меняем знак только у мнимой части каждого слагаемого/множителя, действительные части и структура выражения не меняются.
Запомни
🧠Сопряжённые числа
$\bar z=a-bi$ — отражение $z=a+bi$ относительно действительной оси;
$z+\bar z=2a$ и $z\bar z=a^2+b^2$ — всегда действительны;
$\bar z=z \iff z$ действительно;
сопряжение "проходит сквозь" сумму, разность, произведение, частное и степень.