16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа
📍ИдеяКаждому комплексному числу $z=a+bi$ можно сопоставить точку $(a;b)$ на плоскости — и наоборот. Такую плоскость называют комплексной. А раз есть точки — есть и расстояния: модуль $|z|$ оказывается просто расстоянием от точки $z$ до начала координат.
📐ОпределениеМодулем комплексного числа $z=a+bi$ называют неотрицательное число $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ — расстояние от точки $z$ до начала координат. Если $z$ — действительное число $a$, то $|z|=|a|$ — обычный модуль.
Ключевые свойства
1$|\bar z|=|z|$ — сопряжённые числа равноудалены от начала координат (симметрия относительно оси $\operatorname{Re}$).
2$|z|^2=z\bar z$ — ведь $z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$.
3Сложение $z_1+z_2$ — это сложение векторов $\vec z_1$, $\vec z_2$ по правилу параллелограмма.
4Модуль разности $|z_1-z_2|$ равен расстоянию между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости.
5Неравенство треугольника: $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$ и $|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|$.
Примеры из учебника
Множество точек $|z|=1$ — окружность радиуса $1$ с центром в начале координат; множество $2\le|z| \lt 3$ — кольцо между окружностями радиусов $2$ и $3$ (внешняя граница не входит).
Множество точек, для которых $|z-i|=|z+2|$, — это все точки, равноудалённые от $i$ и от $-2$, то есть серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего эти точки.
⚠️Частая ошибкаПутают $|z_1-z_2|$ (расстояние между точками $z_1$ и $z_2$) с $|z_1|-|z_2|$ (разностью их расстояний до начала координат) — это совершенно разные величины, вторая может быть даже отрицательной.
Запомни
🧠Геометрия комплексной плоскости
$z=a+bi$ ↔ точка $(a;b)$ ↔ вектор из начала координат;
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ — расстояние до начала координат;
$|z_1-z_2|$ — расстояние между точками $z_1$ и $z_2$;