Алгебра · 11 класс · Глава III · § 17*

17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа

🧭 ИдеяВместо "иди на $a$ вправо и на $b$ вверх" точку $z$ можно описать иначе: "отойди на расстояние $r$ под углом $\varphi$ от оси $Ox$". Это как задавать курс кораблю — не координатами, а направлением и дистанцией. Такая запись оказывается идеальной для умножения: углы просто складываются!
📐 ОпределениеАргументом числа $z\ne0$ называют угол $\varphi$ между вектором $\vec{OA}$ (изображающим $z$) и положительным направлением оси $Ox$. Главный аргумент $\varphi_0=\arg z$ — тот, что лежит в промежутке $0\le\varphi_0 \lt 2\pi$. Любой аргумент: $\varphi=\varphi_0+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Если $r=|z|$, то $\cos\varphi=\dfrac{a}{r}$, $\sin\varphi=\dfrac{b}{r}$, и число записывается в тригонометрической форме:

$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$

Умножение и деление — складываем углы

Пусть $z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$, $z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$. Тогда:

1 $z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr)$ — модули перемножаются, аргументы складываются.
2 $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\bigr)$ — модули делятся, аргументы вычитаются.
3 Формула Муавра: $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$ для любого целого $n$ — доказывается индукцией из правила умножения.

Пример из учебника

Возведём $(1+i)^7$. Сначала — тригонометрическая форма: $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$, значит

$$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

По формуле Муавра:

$$(1+i)^7=(\sqrt2)^7\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)=8\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=8-8i$$

⚠️ Частая ошибкаЗаписывают в "тригонометрической форме" выражение вроде $\cos\varphi-i\sin\varphi$ или $\sin\varphi+i\cos\varphi$. Форма годится только со знаком плюс между $\cos\varphi$ и $i\sin\varphi$, и оба берутся от одного и того же угла — если знак минус или углы разные, сначала нужно преобразовать выражение к нужному виду.

Запомни

🧠 Тригонометрическая форма
  • $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $r=|z| \gt 0$, $\varphi=\arg z$;
  • умножение — модули умножаются, аргументы складываются;
  • деление — модули делятся, аргументы вычитаются;
  • формула Муавра: $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$.
§16* · п.16.3* Геометрическая интерпретация Все темы §17* · п.17.2* Корни из комплексных чисел
Перетащи $z_1$, $z_2$ — углы при умножении складываются