💡 Из жизни: представь квадратный лист бумаги со стороной $a$.
От одного его угла отрезали квадратик со стороной $b$ (меньше, чем $a$), убрав
два узких «уголка». То, что осталось от листа — это как раз и есть площадь,
равная $(a-b)^2$: сторона
оставшегося квадрата равна $a-b$. Чтобы посчитать эту площадь через $a$ и $b$,
придётся вычесть из площади всего листа $a^2$ то, что отрезали — и сделать это
придётся хитро, с одним «плюсом» в конце. Подвигай точку на диаграмме справа и
посмотри, как это устроено.
По определению степени
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$.
Раскроем скобки по правилу умножения многочлена на многочлен.
1
Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:
$$(a-b)(a-b) = a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b.$$
2
Записываем произведения короче:
$a\cdot a=a^2$, $b\cdot b=b^2$, а слагаемые $a\cdot b$ и $b\cdot a$ равны между
собой:
$$a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - ab - ab + b^2.$$
3
Приводим подобные члены $-ab-ab=-2ab$ и получаем окончательный результат.
Определение. Равенство
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \quad (1)$$
называют формулой квадрата разности.
Площадная модель — откуда берутся минусы
Формулу (1) можно увидеть на чертеже, если $a>0$, $b>0$ и $a>b$. Возьмём квадрат
со стороной $a$ и разобьём его на четыре части: проведём две линии на расстоянии
$b$ от верхней и от левой сторон. Получатся четыре куска —
квадрат $(a-b)\times(a-b)$ в
верхнем левом углу,
два одинаковых прямоугольника
$(a-b)\times b$ и
квадрат $b\times b$ в правом нижнем
углу.
1
Площадь всего большого квадрата — $a^2$,
и она равна сумме площадей всех четырёх кусков:
$$a^2 = (a-b)^2 + b(a-b) + b(a-b) + b^2.$$
2
Упрощаем правую часть: два одинаковых прямоугольника дают
$2b(a-b)=2ab-2b^2$, а вместе с $b^2$ получаем
$$a^2 = (a-b)^2 + 2ab - 2b^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab - b^2.$$
3
Выражаем искомый кусок — квадрат $(a-b)^2$ — переносом слагаемых:
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$
Вот почему в формуле квадрата разности два минуса: из площади
всего квадрата $a^2$ нужно вычесть два одинаковых прямоугольника
(это и даёт $-2ab$), а квадратик $b^2$ в углу при этом вычли лишний раз —
поэтому его возвращают обратно, прибавляя $+b^2$.
Как читать формулу и замечание о знаке
Буквы $a$ и $b$ в формуле (1) — произвольные числа, поэтому её читают так:
квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное
произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.
Если читать формулу (1) справа налево, она показывает, что многочлен
$a^2-2ab+b^2$ можно разложить на множители — представить как
произведение $(a-b)(a-b)$.
Замечание. Формулу квадрата разности можно получить и из
формулы квадрата суммы, если всюду заменить $b$ на $-b$:
$$(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$
Вот почему в квадрате разности второе слагаемое $b^2$ остаётся с плюсом — ведь
$(-b)^2=b^2$, минус «исчезает» при возведении в квадрат.
Применяем для быстрых вычислений
Пример 1. Вычислим $49^2$
1
Представляем $49=50-1$ и применяем формулу (1):
$$49^2=(50-1)^2=50^2-2\cdot 50\cdot 1+1^2.$$
Складываем с учётом знаков: $2500-100+1=2401$. Значит, $49^2=2401$.
Пример 2. Формулу можно читать и в обратную сторону
1
Выражение $29^2-2\cdot 29\cdot 9+9^2$ устроено как правая часть формулы
(1): квадрат первого числа, минус удвоенное произведение, плюс квадрат
второго.
2
Сворачиваем в квадрат разности: $29^2-2\cdot 29\cdot 9+9^2=(29-9)^2$.
3
Считаем разность в скобках: $29-9=20$, поэтому ответ $20^2=400$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: путать $(a-b)^2$ с $a^2-b^2$ — то есть
«терять» среднее слагаемое и знак степени у второго числа. Это две совсем разные
формулы! Проверь на числах: при $a=5$, $b=2$ верная формула даёт
$(5-2)^2=3^2=9$, а неверная — $5^2-2^2=25-4=21$. Числа не совпадают, значит
$(a-b)^2\ne a^2-b^2$. Правильная формула обязательно содержит
среднее слагаемое $-2ab$ —
именно его убирают по ошибке.
Запомни
🧠 Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа
минус удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. На чертеже минус перед $2ab$ появляется потому, что из
площади большого квадрата $a^2$ вычитают два одинаковых прямоугольника,
а маленький квадратик $b^2$ в углу возвращают обратно — иначе он «пропал бы»
дважды. Формулу можно читать и в обратную сторону — тогда она превращается в
разложение $a^2-2ab+b^2=(a-b)(a-b)$.