💡 Из жизни: представь квадратный участок земли со стороной $x$
(пока неизвестной длины — переменная), к которому с двух сторон пристроили две
одинаковые узкие грядки. Получившаяся фигура — уже не квадрат, но если в свободном
уголке достроить ещё один маленький квадратик, вся фигура снова станет квадратом,
только уже большего размера. Вопрос в том, что мы «доплатили» за этот уголок — и
именно эту доплату придётся потом вычесть, чтобы вернуться к исходному выражению.
Рассмотрим многочлен $x^2+px$, где
$p$ — некоторое число. Слагаемое $px$ можно представить как удвоенное произведение
$x$ и числа $\tfrac{p}{2}$, ведь $2\cdot x\cdot\tfrac{p}{2}=px$. Это и есть первый
шаг: мы «узнаём» в многочлене начало формулы квадрата суммы.
Прибавляем и тут же вычитаем одно и то же число
$\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$ —
от этого значение выражения не меняется:
$$x^2 + 2\cdot x\cdot\frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2.$$
3
Первые три слагаемых — это в точности формула квадрата суммы для двучлена
$x+\tfrac{p}{2}$, поэтому сворачиваем их в квадрат:
$$x^2+px = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2.$$
Именно эту сумму двух слагаемых —
квадрат $\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2$
и минус $\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$ — видно на рисунке справа.
Определение. Если у трёхчлена $x^2+px+q$ прибавить свободный
член $q$ к обеим частям равенства из шага 3, получится
$$x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q - \frac{p^2}{4}\right).$$
В этом случае говорят, что из многочлена $x^2+px+q$ выделен полный
квадрат.
Как это выглядит на чертеже
Возьмём квадрат со стороной $x$ — его площадь
$x^2$. Пристроим к нему справа и
снизу две одинаковые полоски шириной
$\tfrac{p}{2}$ — их суммарная площадь равна как раз $px$. Но чтобы вся
фигура стала настоящим квадратом со стороной $x+\tfrac{p}{2}$, не хватает ещё
одного маленького квадратика в уголке —
$\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$.
Если этот уголок достроить, получится
большой квадрат со стороной
$x+\tfrac{p}{2}$ и площадью $\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2$. Но в исходном
выражении $x^2+px$ такого уголка не было — значит, его площадь нужно вычесть
обратно. Вот почему в формуле появляется минус: мы достроили квадратик,
чтобы «увидеть» формулу квадрата суммы, а затем вычли его же площадь,
чтобы значение выражения не изменилось. Подвигай точку на диаграмме справа —
полоски и уголок будут менять размер вместе с числом $p$.
Примеры выделения полного квадрата
Пример 1. Многочлен $x^2+6x+5$
1
Представляем $6x$ как удвоенное произведение $x$ и $3$, прибавляем и вычитаем
$3^2$:
$$x^2+6x+5 = x^2+2\cdot x\cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 5.$$
2
Сворачиваем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы и считаем
свободные числа: $-3^2+5=-9+5=-4$.
$$x^2+6x+5 = (x+3)^2 - 4.$$
Пример 2. Многочлен $x^2-8x$ (без свободного члена, число $p$ отрицательное)
1
Здесь $-8x=2\cdot x\cdot(-4)$, поэтому дополняем до квадрата разности:
$$x^2-8x = x^2-2\cdot x\cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (x-4)^2-16.$$
Пример 3. Многочлен $x^2+x+1$ (свободный член дробный)
1
Число $\tfrac{p}{2}$ здесь равно $\tfrac{1}{2}$:
$$x^2+x+1 = x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}.$$
Пример 4. Многочлен $x^2-6x+9$ — уголок «сходится в ноль»
1
$$x^2-6x+9 = x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2-3^2+9 = (x-3)^2+0 = (x-3)^2.$$
Здесь остаток $q-\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$ оказался равен нулю — многочлен
сам является полным квадратом, без «лишней» добавки.
Если коэффициент при $x^2$ не равен единице
Полный квадрат можно выделить и из многочлена, где перед $x^2$ стоит число, не
равное $1$. Способ действий зависит от того, является ли этот коэффициент
квадратом другого числа.
Пример 5а. $16x^2+24x+1$ — коэффициент $16=(4x)^2/x^2$, то есть сам $16x^2=(4x)^2$
1
Замечаем, что $16x^2=(4x)^2$, а $24x = 2\cdot 4x\cdot 3$, поэтому дополняем
до квадрата суммы для двучлена $4x+3$:
$$16x^2+24x+1 = (4x)^2+2\cdot 4x\cdot 3+3^2-3^2+1 = (4x+3)^2-8.$$
Пример 5б. $3x^2+6x+1$ — коэффициент $3$ не квадрат
1
Сначала выносим коэффициент $3$ за скобку у первых двух слагаемых:
$$3x^2+6x+1 = 3(x^2+2x)+1.$$
2
Внутри скобки выделяем полный квадрат обычным способом, а затем раскрываем
скобку обратно, умножая добавку на $3$:
$$3(x^2+2x\cdot 1+1^2-1^2)+1 = 3(x+1)^2-3+1 = 3(x+1)^2-2.$$
Зачем это нужно: доказательство неравенств
Главная практическая польза выделения полного квадрата — доказательство того, что
квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные (или только положительные)
значения, каким бы ни было число $x$. Опора на простой факт: квадрат любого числа
$\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2\ge 0$ всегда, ведь квадрат не может быть
отрицательным.
Пример 6. Докажем, что для любого числа $x$ верно неравенство $x^2+4x+4{,}1>0$
1
Выделяем полный квадрат: $x^2+4x+4{,}1=(x+2)^2+0{,}1$.
2
Для любого числа $x$ верно $(x+2)^2\ge 0$, а значит
$(x+2)^2+0{,}1\ge 0{,}1>0$.
3
Следовательно, для любого числа $x$ верно $x^2+4x+4{,}1>0$, что и требовалось
доказать.
Пример 7. Докажем, что для любых чисел $x$ и $y$ верно
$x^2+y^2+6x-14y+58\ge 0$
1
Выделяем полный квадрат отдельно по $x$ и отдельно по $y$:
$$x^2+y^2+6x-14y+58 = (x+3)^2+(y-7)^2.$$
2
Оба слагаемых — квадраты, поэтому $(x+3)^2\ge 0$ и $(y-7)^2\ge 0$ при любых
$x$ и $y$, а значит их сумма тоже неотрицательна: $x^2+y^2+6x-14y+58\ge 0$, что
и требовалось доказать.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: достроить уголок
$\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$ и
забыть его вычесть — то есть написать только
$x^2+px = \left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2$ без поправки. Это неверно: мы добавили
лишнюю площадь, и её обязательно нужно вернуть, вычтя $\left(\tfrac{p}{2}\right)^2$.
Проверь на числах: при $x=1$, $p=6$ левая часть равна $1+6=7$, а
$(1+3)^2=16\ne 7$. Только с поправкой $16-9=7$ равенство выполняется — вычитание
обязательно.
Запомни
🧠 Выделить полный квадрат из трёхчлена $x^2+px+q$ — значит
представить его в виде $\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2+\left(q-\tfrac{p^2}{4}\right)$.
Правило действий: половину коэффициента при $x$ (число $\tfrac{p}{2}$) возводим в
квадрат, прибавляем и тут же вычитаем этот квадрат, а первые три слагаемых
сворачиваем по формуле квадрата суммы. Если коэффициент при $x^2$ не равен $1$ —
сначала выносим его за скобку. Этот приём часто используют, чтобы доказать: сумма
квадратов всегда неотрицательна, значит и весь трёхчлен не может стать
отрицательным.