💡 Из жизни: представь, что нужно быстро перемножить в уме
$41\cdot 39$ — оба числа неудобные. Но если заметить, что $41=40+1$ и $39=40-1$,
задача превращается в перемножение суммы и разности одних и тех же чисел
$40$ и $1$ — а для такого произведения есть готовая формула, которая сводит всё
к одному вычитанию квадратов: $40^2-1^2$.
Рассмотрим произведение $(a+b)(a-b)$.
Раскроем скобки по правилу умножения многочленов.
1
Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2.$$
2
Слагаемые $-ab$ и $ba$ противоположны (это одно и то же произведение с разным
знаком), поэтому они уничтожаются:
$$a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2.$$
Определение. Равенство
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b) \qquad (1)$$
называют формулой разности квадратов. Читается так: разность
квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и их разности. Формула
(1) даёт разложение многочлена $a^2-b^2$ на множители.
Геометрическое доказательство: режем и складываем
Формулу разности квадратов можно не только вывести алгебраически, но и
увидеть — на чертеже справа, для чисел $a>0$, $b>0$, $a>b$. Берём квадрат
со стороной $a$, вырезаем из угла
квадрат со стороной $b$ — остаётся
фигура в форме буквы Г площадью
$a^2-b^2$. Дальше режем и
переставляем: подвижный кусочек
$(a-b)\times b$ поворачивается на
$90°$ и превращает всю фигуру в прямоугольник $(a+b)(a-b)$.
1
Возьмём квадрат со стороной $a$ — его площадь равна $a^2$. В верхнем правом
углу вырежем маленький квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$).
2
Оставшаяся фигура в форме буквы Г — это и есть $a^2-b^2$. Разрежем её на два
прямоугольника: нижний $a\times(a-b)$ и верхний $(a-b)\times b$.
3
Повернём верхний прямоугольник на $90°$ и приставим его справа от нижнего.
Нажми кнопку под чертежом — кусочки соберутся в один большой прямоугольник.
4
У получившегося прямоугольника стороны $(a+b)$ и $(a-b)$, а его площадь та
же самая, что и у фигуры-Г (мы ничего не добавляли и не убирали, только
переставили кусочки). Значит,
$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b),$$
что и требовалось доказать.
Быстрый устный счёт
Формулу разности квадратов часто используют для упрощения вычислений: неудобное
произведение двух чисел заменяют разностью квадратов их полусуммы и полуразности.
Формулу (1) применяют и в обратную сторону: если видим разность двух квадратов —
сразу раскладываем её на сумму и разность оснований.
Пример 3
1
$4a^2-9b^2 = (2a)^2-(3b)^2 = (2a-3b)(2a+3b).$
Пример 4
1
Раскладываем в два приёма — сначала $x^4-1$ как разность квадратов $x^2$ и
$1$, а затем ещё раз раскладываем $x^2-1$:
$$x^4-1 = (x^2)^2-1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1).$$
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: путать разность квадратов $a^2-b^2$
и квадрат разности $(a-b)^2$ — это разные выражения! Проверь на числах:
при $a=5$, $b=3$ разность квадратов $a^2-b^2=25-9=16$, а квадрат разности
$(a-b)^2=(5-3)^2=4$. Числа $16$ и $4$ не совпадают — значит, $a^2-b^2\ne(a-b)^2$.
Формула разности квадратов раскладывается на два разных множителя
$(a+b)(a-b)$, а не на квадрат одного и того же множителя.
Запомни
🧠 Формула разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Читаем: разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности.
Работает в обе стороны — можно раскрывать скобки, а можно раскладывать многочлен
на множители. Не путай с квадратом разности $(a-b)^2$ — это другая формула
с другим результатом.