💡 Из жизни: представь два кубика-конструктора с рёбрами
$a$ и $b$ —
их общий объём равен $a^3+b^3$. Если известно произведение суммы рёбер на некий
второй множитель — считать объём по отдельности не нужно: формула суммы кубов
сворачивает эту сумму в одно произведение (и наоборот — раскладывает сумму кубов
на множители).
Рассмотрим произведение $(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Раскроем скобки по правилу умножения
многочлена на многочлен, а затем нажми кнопку — приведение подобных слагаемых
покажется по шагам.
1
Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3.$$
2
Слагаемые $-a^2b$ и $a^2b$ противоположны — уничтожаются. То же самое
происходит с $ab^2$ и $-ab^2$:
$$a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3+b^3.$$
Определение. Равенство
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \qquad (1)$$
называют формулой суммы кубов. Читается так: сумма кубов двух чисел
равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности. Многочлен
$a^2-ab+b^2$ называют неполным квадратом разности $a$ и $b$. Формула (1)
даёт разложение многочлена $a^3+b^3$ на множители.
Живая проверка формулы
Формула работает для любых чисел $a$ и
$b$ — потяни точки на шкалах справа и убедись,
что левая часть $a^3+b^3$ и правая часть
$(a+b)(a^2-ab+b^2)$ всегда совпадают.
Прямоугольник справа наглядно показывает произведение: одна его сторона равна
$(a+b)$, другая — неполному квадрату разности $(a^2-ab+b^2)$.
Разложение на множители
Формулу (1) применяют и в обратную сторону: если видим сумму двух кубов —
раскладываем её на сумму оснований и неполный квадрат их разности.
⚠️ Частая ошибка: путать неполный квадрат разности
$a^2-ab+b^2$ и полный квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — это разные
многочлены! Разница ровно в коэффициенте перед $ab$: у полного квадрата он $-2ab$,
у неполного — $-ab$. Проверь на числах: при $a=3$, $b=1$ неполный квадрат разности
$a^2-ab+b^2=9-3+1=7$, а полный квадрат разности $(a-b)^2=(3-1)^2=4$. Числа $7$ и $4$
не совпадают. Слово «неполный» — не украшение, а часть названия: пропускать его или
заменять на «квадрат разности» — ошибка.
Запомни
🧠 Формула суммы кубов:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Читаем: сумма кубов двух чисел равна произведению их суммы на неполный квадрат
разности. Многочлен $a^2-ab+b^2$ называется неполным квадратом
разности — не путай с обычным (полным) квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Формула работает в обе стороны: можно раскрывать скобки, а можно раскладывать
многочлен на множители.