💡 Из жизни: представь два кубика-конструктора с рёбрами
$a$ и $b$,
причём $a$ больше $b$. Из объёма большого кубика вырезали маленький — осталось $a^3-b^3$.
Формула разности кубов сворачивает эту разность объёмов в одно произведение
(а произведение, наоборот, раскладывается обратно в разность кубов).
Рассмотрим произведение $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Раскроем скобки по правилу умножения
многочлена на многочлен, а затем нажми кнопку — приведение подобных слагаемых
покажется по шагам.
1
Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3.$$
2
Слагаемые $a^2b$ и $-a^2b$ противоположны — уничтожаются. То же самое
происходит с $ab^2$ и $-ab^2$:
$$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3-b^3.$$
Определение. Равенство
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \qquad (1)$$
называют формулой разности кубов. Читается так: разность кубов двух
чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы. Многочлен
$a^2+ab+b^2$ называют неполным квадратом суммы $a$ и $b$. Формула (1)
даёт разложение многочлена $a^3-b^3$ на множители.
Живая проверка формулы
Формула работает для любых чисел $a$ и
$b$, где $a>b$ — потяни точки на шкалах справа
и убедись, что левая часть $a^3-b^3$ и правая часть
$(a-b)(a^2+ab+b^2)$ всегда совпадают.
Прямоугольник справа наглядно показывает произведение: одна его сторона равна
$(a-b)$, другая — неполному квадрату суммы $(a^2+ab+b^2)$.
Разложение на множители
Формулу (1) применяют и в обратную сторону: если видим разность двух кубов —
раскладываем её на разность оснований и неполный квадрат их суммы.
⚠️ Частая ошибка: путать формулу разности кубов с формулой суммы
кубов и путать знаки. У суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — в скобке минус
перед $ab$. У разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ — в скобке плюс перед $ab$.
Знак перед $ab$ в квадратной скобке всегда противоположен знаку в первой скобке.
Проверь на числах: при $a=3$, $b=1$ разность кубов $a^3-b^3=27-1=26$, а произведение
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=(3-1)(9+3+1)=2\cdot 13=26$ — совпало. Если бы перед $ab$ стоял
минус, получилось бы $(3-1)(9-3+1)=2\cdot 7=14$ — неверно.
Запомни
🧠 Формула разности кубов:
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
Читаем: разность кубов двух чисел равна произведению их разности на неполный квадрат
суммы. Многочлен $a^2+ab+b^2$ называется неполным квадратом
суммы — не путай с обычным (полным) квадратом суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Формула работает в обе стороны: можно раскрывать скобки, а можно раскладывать
многочлен на множители.