💡 Из жизни: мы уже умеем возводить сумму в квадрат:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. А если нужен куб суммы — то есть сумма, умноженная сама на
себя три раза? По свойству степени $(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b)$ — значит, можно взять уже
известный квадрат суммы и домножить его ещё на одну сумму $(a+b)$.
Рассмотрим произведение $(a+b)^2(a+b)$, где $a$
и $b$ — любые числа. Подставим формулу
квадрата суммы и раскроем скобки, а затем нажми кнопку — приведение подобных
слагаемых покажется по шагам.
1
Заменяем $(a+b)^2$ на $a^2+2ab+b^2$ и умножаем каждый член первой скобки на
каждый член второй:
$$(a+b)^2(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3.$$
2
Приводим подобные слагаемые: $2a^2b$ и $a^2b$ складываются в $3a^2b$, а
$ab^2$ и $2ab^2$ складываются в $3ab^2$:
$$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$
Определение. Равенство
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \qquad (1)$$
называют формулой куба суммы. Читается так: куб суммы двух чисел
равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа и
второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб
второго числа. Формула (1), прочитанная справа налево, показывает, что многочлен
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ раскладывается на множители — на произведение трёх одинаковых
множителей $(a+b)$.
Живая проверка формулы
Формула работает для любых чисел $a$ и
$b$ — потяни точки на шкалах справа и
убедись, что левая часть $(a+b)^3$ и правая часть
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ всегда совпадают.
Прямоугольник справа наглядно показывает произведение: одна его сторона равна
$(a+b)$, другая — квадрату суммы $(a+b)^2$, а площадь всего прямоугольника равна
кубу суммы $(a+b)^3$.
Применение формулы
Формулу (1) применяют и в обратную сторону: если видим многочлен из четырёх
слагаемых такого вида — сворачиваем его в куб суммы двух чисел.
⚠️ Частая ошибка: писать $(a+b)^3 = a^3+b^3$, забывая про средние
слагаемые — так же, как для квадрата суммы часто забывают удвоенное произведение.
Проверь на числах: при $a=2$, $b=1$ куб суммы $(a+b)^3=3^3=27$, а сумма кубов
$a^3+b^3=8+1=9$ — числа совсем разные! Правильно: $(2+1)^3 =
2^3+3\cdot 2^2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1^2+1^3 = 8+12+6+1=27$ — совпало. В формуле куба
суммы четыре слагаемых, и коэффициенты у средних членов — тройки, а не единицы.
Запомни
🧠 Формула куба суммы:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$
Читаем: куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение
квадрата первого числа и второго, плюс утроенное произведение первого числа и
квадрата второго, плюс куб второго числа. Легко получить из уже известного
$(a+b)^2$: $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$. Формула работает в обе стороны: можно раскрывать
скобки, а можно сворачивать четырёхчлен обратно в куб суммы.