С алгебраическими дробями складывают и вычитают так же, как с обыкновенными: если
знаменатели одинаковые, действие выполняют только над числителями, а знаменатель
переписывают без изменений.
Правило. Для дробей $\dfrac{A}{B}$ и $\dfrac{C}{B}$ с одинаковым
знаменателем $B$:
$$\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{A+C}{B}, \qquad \dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{B} = \dfrac{A-C}{B}.$$
Пример. $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1+x}{x-1}$ —
числители сложили, знаменатель $x-1$ остался прежним. А вот при вычитании иногда
результат заметно упрощается:
$$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}=1.$$
💡 Из жизни: если два куска пиццы уже нарезаны на одинаковые по
размеру доли (одинаковый знаменатель), чтобы узнать, сколько долей получилось вместе
или на сколько долей одна порция больше другой, — просто складывают или вычитают
количество долей (числители), а размер самой доли (знаменатель) не меняется.
Сложение и вычитание — разные знаменатели
Если знаменатели дробей $\dfrac{A}{B}$ и $\dfrac{C}{D}$ разные, их сначала
приводят к общему знаменателю (см. предыдущую тему), а затем
складывают или вычитают числители по тому же правилу. В качестве общего знаменателя
всегда годится произведение $B\cdot D$:
Знаменатели $x-2$ и $x+2$ не имеют общих множителей — общий знаменатель
$(x-2)(x+2)$.
2
Домножаем первую дробь на $(x+2)$, вторую — на $(x-2)$, и складываем числители:
$$\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}.$$
3
Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $2(x+2)=2x+4$,
$x(x-2)=x^2-2x$, сумма $=x^2+4$. Знаменатель $(x-2)(x+2)=x^2-4$:
$$\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{x^2+4}{x^2-4}.$$
Умножение алгебраических дробей
Дроби умножают друг на друга «крест-накрест не нужен» — числители перемножают между
собой, знаменатели тоже, и полученную дробь по возможности сокращают.
Перемножаем числители и знаменатели отдельно:
$$\dfrac{a-4}{a+3}\cdot\dfrac{a+3}{a}=\dfrac{(a-4)(a+3)}{(a+3)\cdot a}.$$
2
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a+3)$ — сокращаем на него:
$$\dfrac{a-4}{a+3}\cdot\dfrac{a+3}{a}=\dfrac{a-4}{a}.$$
💡 После умножения дробь обязательно проверяют на сокращение — часто общий множитель
появляется именно в результате умножения, как $(a+3)$ в этом примере.
Деление алгебраических дробей
Разделить на дробь — значит умножить на «перевёрнутую» дробь (числитель и знаменатель
меняются местами).
Правило.
$$\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot D}{B\cdot C}.$$
При этом предполагается, что $C$ — ненулевой многочлен (так же как $B$ и $D$): делить
на нуль-многочлен нельзя.
Пример.
$\dfrac{x}{x-2}:\dfrac{x+2}{x-2}$
1
Заменяем деление умножением на перевёрнутую вторую дробь:
$$\dfrac{x}{x-2}:\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x}{x-2}\cdot\dfrac{x-2}{x+2}.$$
2
Перемножаем числители и знаменатели:
$$\dfrac{x}{x-2}\cdot\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)}.$$
3
Сокращаем на общий множитель $(x-2)$:
$$\dfrac{x}{x-2}:\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x}{x+2}.$$
⚠️ Частая ошибка при сложении/вычитании: когда знаменатели у дробей
уже одинаковые, некоторые ученики «на автомате» складывают ещё и знаменатели — вместо
$\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{5}{a+b}=\dfrac{8}{a+b}$ пишут $\dfrac{8}{2(a+b)}$.
Знаменатель при сложении/вычитании одинаковых дробей не меняется —
складывают (вычитают) только числители.
Полезные свойства
Из правил действий с дробями следуют несколько удобных свойств: