Алгебра · 7 класс · Глава 2 · §7 · п.7.4

Рациональные выражения

Что называют рациональным выражением

Мы уже умеем складывать, вычитать, умножать и делить алгебраические дроби (см. предыдущую тему). Если в одной записи несколько таких дробей соединены знаками арифметических действий — плюс, минус, умножение, деление, — такая запись называется рациональным выражением.

Определение. Рациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединены знаками арифметических действий. При этом выражение не должно содержать деления на нулевой многочлен — такие случаи не рассматривают, они не имеют смысла. Отдельная алгебраическая дробь тоже считается рациональным выражением — просто самым простым из них.
💡 Из жизни: представь кулинарный рецепт, где несколько «дробных» порций ингредиентов (полстакана, треть чашки, четверть ложки) складываются, вычитаются и делятся друг на друга по правилам рецепта. Итоговая формула — это и есть рациональное выражение: составное, но подчиняющееся тем же правилам, что и обычная арифметика с дробями.

Как упрощают рациональные выражения

Рациональные выражения упрощают, пользуясь теми же правилами, которым подчинены алгебраические дроби: приведение к общему знаменателю, сокращение, правило деления через умножение на перевёрнутую дробь. При этом для рациональных выражений действует тот же порядок действий, что и для числовых выражений — сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Составное выражение упрощают по шагам: сначала приводят к простому виду отдельные части (например, содержимое скобок), а затем выполняют оставшиеся действия между уже упрощёнными дробями. Второй пример справа показывает это на выражении с тремя дробями и разложением знаменателей на множители.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Рациональное выражение не имеет смысла, если хотя бы один из его знаменателей обращается в нуль — на нуль делить нельзя. Множество значений переменных, при которых все знаменатели выражения не равны нулю, называют областью допустимых значений.

Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ) рационального выражения называют все значения входящих в него переменных, при которых ни один из знаменателей (включая промежуточные, до упрощения) не обращается в нуль.
⚠️ Частая ошибка: ОДЗ находят по исходному выражению, а не по уже упрощённому результату. Например, выражение $\left(\dfrac1a+\dfrac{a}{a}\right):\left(\dfrac6b+\dfrac3a+\dfrac{3}{ab}\right)-\dfrac{ab}{3}:(2a+b+1)$ после упрощения превращается в дробь $\dfrac{b}{6a+3b+3}$, в которой переменная $a$ отдельно уже не видна в знаменателе. Но условие $a\neq0$ никуда не делось — оно было в исходном выражении, и результат вычисления при $a=0$ по-прежнему не имеет смысла.

Пример: упрощение составного выражения

Упростим выражение: $$\left(\dfrac1a+\dfrac{a}{a}\right):\left(\dfrac6b+\dfrac3a+\dfrac{3}{ab}\right)-\dfrac{ab}{3}:(2a+b+1)$$

1
Упрощаем числитель первой дроби, приводя слагаемые к общему знаменателю $a$: $$\dfrac1a+\dfrac{a}{a}=\dfrac{1+a}{a}$$
2
Упрощаем знаменатель первой дроби — приводим три слагаемых к общему знаменателю $ab$: $$\dfrac6b+\dfrac3a+\dfrac{3}{ab}=\dfrac{6a+3b+3}{ab}$$
3
Делим первую дробь на вторую — умножаем на перевёрнутую и сокращаем на $a$: $$\dfrac{a+1}{a}:\dfrac{6a+3b+3}{ab}=\dfrac{(a+1)\cdot ab}{a\cdot(6a+3b+3)}=\dfrac{(a+1)b}{6a+3b+3}$$
4
Упрощаем второе слагаемое — делим $\dfrac{ab}{3}$ на многочлен $2a+b+1$. Замечаем, что $3(2a+b+1)=6a+3b+3$ — тот же знаменатель, что и в третьем шаге: $$\dfrac{ab}{3}:(2a+b+1)=\dfrac{ab}{3(2a+b+1)}=\dfrac{ab}{6a+3b+3}$$
5
Знаменатели совпали — вычитаем числители: $$\dfrac{(a+1)b}{6a+3b+3}-\dfrac{ab}{6a+3b+3}=\dfrac{ab+b-ab}{6a+3b+3}=\dfrac{b}{6a+3b+3}$$ Ответ: $\dfrac{b}{6a+3b+3}$, при этом ОДЗ выражения: $a\neq0,\ b\neq0,\ 2a+b+1\neq0$.

Запомни

1. Рациональное выражение — алгебраические дроби, соединённые знаками $+,\ -,\ \cdot,\ :$; деление на нулевой многочлен не рассматривают
2. Порядок действий такой же, как в числовых выражениях: скобки → умножение/деление → сложение/вычитание
3. Упрощают, применяя правила действий с алгебраическими дробями — приведение к общему знаменателю, сокращение, деление через умножение на перевёрнутую дробь
4. ОДЗ — значения переменных, при которых ни один знаменатель (в том числе промежуточный) не равен нулю
5. ОДЗ ищут по исходному выражению — она не меняется после упрощения, даже если знаменатель «пропал» из ответа
← Глава 2 · §7 · п.7.3 Арифметические действия с алгебраическими дробями Все темы Глава 2 · §7 · п.7.5 → Числовое значение рационального выражения
Переключай примеры — под каждым доступен пошаговый разбор и ОДЗ
Тренажёр: верно ли определена ОДЗ?
Для каждого выражения оцени, верно ли указана его ОДЗ — «Верно» или «Неверно»