Возьмём рациональное выражение $\dfrac{a^2+1}{a-1}+2a$.
Если вместо буквы $a$ подставить конкретное число, например $a=3$, — получится обычное
числовое выражение $\dfrac{3^2+1}{3-1}+2\cdot3$, которое можно вычислить. Его значение
равно $11$. Это число называют числовым значением выражения при $a=3$
(слово «числовое» дальше часто опускают, но подразумевают).
При $a=-1$ значение того же выражения равно $-3$ — подставляем другое число, получаем
другой ответ. Так можно поступить с любым значением $a$ — кроме одного:
$a=1$. При $a=1$ в знаменателе первой
дроби получится $1-1=0$, а делить на нуль нельзя — выражение просто не имеет
смысла.
Определение. Числовым значением рационального выражения при заданных
значениях букв называют число, которое получается, если подставить эти значения в
выражение и вычислить его по обычным правилам арифметики — при условии, что ни один
знаменатель при этом не обращается в нуль.
💡 Из жизни: представь калькулятор с одной незаполненной кнопкой — вместо
буквы $a$ можно ввести любое число, и калькулятор выдаст ответ. Но если ввести именно то
число, при котором в формуле «внутри» происходит деление на нуль, калькулятор выдаст
ошибку — не потому что он сломан, а потому что у самого выражения при этом значении нет
числового ответа.
Область определения выражения
Множество всех значений букв, при которых выражение имеет смысл (то есть можно
вычислить его значение), называют областью определения выражения — это
то же самое, что и область допустимых значений (ОДЗ), с которой мы уже работали в
предыдущей теме.
Определение. Алгебраическая дробь $\dfrac{A}{B}$ определена для всех
числовых значений входящих в неё букв, кроме тех, при которых знаменатель $B$
обращается в нуль.
Возьмём другой пример — дробь с двумя буквами: $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$. Подставим вместо
$x$ и $y$ любые два числа. Если знаменатель $x-y$ не равен нулю — получится числовое
значение. Значит, эта дробь определена для всех $x$ и $y$, кроме случая, когда они
равны друг другу: $x\neq y$.
⚠️ Частая ошибка: считать, что если при подстановке «неудобного»
значения знаменатель просто получается маленьким числом (например, $0{,}001$), то
выражение «почти не определено», а если знаменатель большой — то «всё в порядке». Это не
так: значение либо входит в область определения (знаменатель не равен нулю — любому,
даже очень маленькому), либо не входит (знаменатель равен ровно нулю). Промежуточных
состояний нет.
Пример: находим область определения и вычисляем значение
Найдём область определения выражения $\dfrac{a^2+1}{a-1}+2a$ и вычислим его значение
при $a=3$.
1
Смотрим, где в выражении есть деление, — знаменатель равен $a-1$. Именно он не
должен обращаться в нуль.
2
Решаем уравнение $a-1=0$, чтобы найти запрещённое значение: $a=1$.
3
Область определения — все числа, кроме найденного: $a\neq1$.
4
Значение $a=3$ входит в область определения, так как $3\neq1$ — можно подставлять
и вычислять.
5
Подставляем $a=3$ и вычисляем:
$$\dfrac{3^2+1}{3-1}+2\cdot3=\dfrac{10}{2}+6=5+6=11$$
Ответ: при $a=3$ значение выражения равно $11$.
Доказательство через область определения
Область определения помогает не только вычислять значения, но и доказывать неравенства.
Возьмём дробь $\dfrac{3}{x^2+2x+4}$. Заметим, что $x^2+2x+4=(x+1)^2+3$, а так как
$(x+1)^2\ge0$ для любого числа $x$, то знаменатель $(x+1)^2+3\ge3$ — он никогда не
обращается в нуль, значит, выражение определено для любого числа $x$.
Более того, раз знаменатель не меньше $3$, вся дробь не больше $1$:
$$\dfrac{3}{x^2+2x+4}\le1$$
Равенство достигается только при $(x+1)^2=0$, то есть при $x=-1$ — именно тогда дробь
равна ровно $1$.
Запомни
1. Числовое значение выражения — результат подстановки чисел вместо
букв и вычисления по обычным правилам арифметики
2. Область определения (ОДЗ) — все значения букв, при которых
ни один знаменатель не равен нулю
3. Чтобы найти область определения: находим все знаменатели → решаем
уравнения «знаменатель = 0» → исключаем найденные значения
4. Если значение переменной не входит в область определения — при
нём выражение не имеет смысла, вычислить его нельзя
5. У выражения с двумя и более буквами исключают не отдельные числа,
а сочетания значений (например, $x\neq y$)