Алгебра 7 класс: Тождественное равенство рациональных выражений

Одно равенство — две разные области определения

Возьмём равенство $\dfrac{a^2+a+1}{a-3}=\dfrac{(a^2+a+1)(a-1)}{(a-3)(a-1)}$. Левая часть определена при всех $a$, кроме $a=3$ — там знаменатель обращается в нуль. Правая часть определена при всех $a$, кроме $a=3$ и ещё $a=1$ — там появился лишний множитель $(a-1)$ в знаменателе.

То есть у левой и правой частей разные области определения! И всё же для каждого значения $a$, при котором определены обе части (то есть $a\neq3$ и $a\neq1$), их числовые значения совпадают — правая часть просто получена умножением числителя и знаменателя левой на $(a-1)\neq0$, а это не меняет значения дроби.

Определение. Равенство двух рациональных выражений называют тождеством (или тождественным равенством), если оно превращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, при которых обе части равенства определены.

        💡 Из жизни: два разных кассовых чека могут по-разному считать одну и ту же
        сумму скидки — один по формуле «цена минус скидка», другой «цена умножить на коэффициент».
        Формулы выглядят непохоже, и одна из них может не работать для «испорченного» товара без
        цены (деление на 0), но там, где обе формулы применимы, итоговая сумма всегда одна и та
        же. Так и с тождеством: важно не совпадение записи, а совпадение значений там, где
        обе части имеют смысл.
      

Любое верное равенство дробей — тождество

Можно провести такое же рассуждение для любого другого верного равенства двух рациональных выражений: если равенство получено правильными алгебраическими преобразованиями (сложением, приведением к общему знаменателю, сокращением дробей), то на общей области определения значения обеих частей всегда совпадут.

        💡 Важный факт. Любое верное равенство двух рациональных выражений есть
        тождество. Поэтому вместо слов «докажем, что равенство верно» математики часто пишут
        короче — «докажем тождество».
      

Это согласуется и с тем, что мы уже знаем про тождества целых выражений (многочленов) — там обе части всегда определены при любых значениях букв, поэтому условие про «общую область определения» выполняется автоматически и о нём даже не упоминают.

⚠️ Частая ошибка: подставить в равенство одно-два «удобных» числа, получить верное числовое равенство и сразу решить, что это тождество. Но тождество должно выполняться для всех допустимых значений букв — совпадение на нескольких числах могло случиться и без всякой закономерности. Доказывать тождество нужно алгебраически: показать преобразованиями, что одна часть равна другой при любых допустимых значениях букв, а не проверкой отдельных примеров.

Доказываем тождество: пример

Докажем тождество $\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y}-\dfrac{2y}{x^2-y^2}=0$.

Замечаем, что $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Значит, все три дроби определены только при $x\neq y$ и $x\neq-y$ — это и есть область, на которой будем доказывать равенство.

Приводим каждую дробь к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$: $$\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{x-y}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{2y}{(x-y)(x+y)}$$

Знаменатель теперь у всех трёх дробей общий — можно сложить числители в одну дробь: $$\dfrac{(x+y)-(x-y)-2y}{(x-y)(x+y)}$$

Упрощаем числитель, раскрывая скобки: $(x+y)-(x-y)-2y = x+y-x+y-2y = 0$.

Получаем $\dfrac{0}{(x-y)(x+y)}=0$ — верное равенство при любых $x\neq y$ и $x\neq-y$. Значит, исходное равенство — тождество, что и требовалось доказать.

Запомни

1. Тождество — равенство двух рациональных выражений, верное для всех значений букв, при которых обе части определены

2. Области определения левой и правой частей могут отличаться — важно только совпадение значений на их общей части

3. Любое верное равенство рациональных выражений автоматически является тождеством — «докажем равенство» и «докажем тождество» означают одно и то же

4. Доказательство тождества: приводим дроби к общему знаменателю, складываем числители, упрощаем — и получаем совпадение обеих частей

5. Проверка на нескольких числах не доказывает тождество — нужны алгебраические преобразования, верные для всех допустимых значений

← Глава 2 · §7 · п.7.5 Числовое значение рационального выражения Все темы Глава 2 · §8 · п.8.1 → Понятие степени с целым показателем

Двигай точку $a$ — сравнивай обе части тождества

$L(a)=\dfrac{a^2+a+1}{a-3}$

$R(a)=\dfrac{(a^2+a+1)(a-1)}{(a-3)(a-1)}$

Красная точка $a=3$ и оранжевая $a=1$ — запрещённые значения (открытые кружки)

Перетаскивай синюю точку вдоль числовой прямой

Тренажёр: тождество или нет?

Для каждого равенства реши: это тождество, или равенство просто неверное