Алгебра 7 класс: Понятие степени с целым показателем

Что происходит, когда мы делим степени

Мы уже умеем умножать степени одного основания: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. Возникает вопрос — а что будет, если степени делить? Пусть $a\neq0$ (на нуль делить нельзя), а $m$ и $n$ — натуральные числа. Если $m>n$, всё просто: $a^m:a^n=a^{m-n}$ — например, $a^5:a^4=a^{1}$.

А если показатель делимого меньше показателя делителя? Возьмём $a^3:a^5=\dfrac{a^3}{a^5}=\dfrac{1}{a^2}$. По формуле $a^{m-n}$ здесь должно получиться $a^{3-5}=a^{-2}$. Значит, разумно договориться, что $a^{-2}$ — это и есть $\dfrac{1}{a^2}$. Тогда правило $a^m:a^n=a^{m-n}$ будет работать всегда, без ограничения $m>n$. Точно так же $a^7:a^{10}=\dfrac{1}{a^3}=$ $a^{-3}$.

Остаётся случай $m=n$: $a^m:a^m=\dfrac{a^m}{a^m}=1$. По той же формуле должно получиться $a^{m-m}=a^0$. Значит, логично считать, что $a^0$ равно $1$.

Определение: степень с целым показателем

Определение. Для любого действительного числа $a\neq0$ и любого натурального числа $m$: $$a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}\qquad(a\neq0)$$ $$a^{0}=1\qquad(a\neq0)$$ Число $a^m$, где $m$ — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), называют степенью с целым показателем: $a$ — основание степени, $m$ — показатель степени.

        💡 Из жизни: бактерии в чашке Петри удваивают численность каждый час — основание
        роста $a=2$. Пусть прямо сейчас, в момент $n=0$, в чашке ровно одна условная порция: $2^0=1$.
        Через $n$ часов порций станет $2^n$. А что было $n$ часов назад? Логично считать, что
        порций было в $2^n$ раз меньше — то есть $2^{-n}=\dfrac{1}{2^n}$. Закон «делим на 2 при каждом
        шаге» остаётся одним и тем же, куда бы мы ни двигались — вперёд по времени или назад.
      

⚠️ Частая ошибка: считать, что $a^{-n}$ — это просто отрицательное число (с минусом перед ним), а не обратная дробь. Например, ошибочно писать $2^{-3}=-8$. На самом деле $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$ — минус стоит у показателя степени, а не у самого значения! При положительном основании $a$ значение $a^{-n}$ всегда положительно.

Пример: вычисляем значение выражения

Вычислим $\left(3^{-1}-5^{-1}\right)^{-2}$.

Раскрываем степени с отрицательным показателем внутри скобок по определению: $3^{-1}=\dfrac13$, $5^{-1}=\dfrac15$.

Приводим дроби к общему знаменателю $15$ и вычитаем: $$\dfrac13-\dfrac15=\dfrac{5-3}{15}=\dfrac{2}{15}$$

Осталось возвести $\dfrac{2}{15}$ в степень $-2$. По определению это значит перевернуть дробь и возвести в степень $2$: $$\left(\dfrac{2}{15}\right)^{-2}=\left(\dfrac{15}{2}\right)^{2}$$

Вычисляем квадрат дроби: $\left(\dfrac{15}{2}\right)^{2}=\dfrac{225}{4}=56{,}25$. Значит, $\left(3^{-1}-5^{-1}\right)^{-2}=56{,}25$.

Запомни

1. $a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}$ и $a^{0}=1$ — только при $a\neq0$, на ноль делить нельзя

2. Показатель степени может быть любым целым числом: натуральным, отрицательным или нулём

3. Знак «минус» у показателя означает «перевернуть дробь», а не «сделать значение отрицательным»

4. Выражения $0^0$ и $0^{-m}$ смысла не имеют; при этом $0^m=0$ для натурального $m$

5. Правило $a^m:a^n=a^{m-n}$ теперь работает без ограничения $m>n$ — для любых целых $m$ и $n$

← Глава 2 · §7 · п.7.6 Тождественное равенство рациональных выражений Все темы Глава 2 · §8 · п.8.2 → Свойства степени с целым показателем

Продолжаем деление на основание — шаг за шагом

Каждый шаг вниз — деление на основание. Правило не меняется даже после нуля.