Алгебра 7 класс: Свойства степени с целым показателем

Работают ли старые правила для новых степеней

В прошлой теме мы расширили понятие степени: показателем теперь может быть не только натуральное число, но и ноль, и отрицательное целое число — $a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}$, $a^{0}=1$ (при $a\neq0$). Но для натуральных показателей мы ещё в 5–6 классе выучили удобные правила: степени с одинаковым основанием можно умножать, складывая показатели, делить — вычитая показатели, а степень возводить в степень — перемножая показатели. Хорошая новость: эти же правила остаются верными для любых целых показателей — положительных, отрицательных и нуля.

Убедимся на примере. Возьмём $a^{-3}\cdot a^{2}$. По определению отрицательной степени: $a^{-3}\cdot a^{2}=\dfrac{1}{a^3}\cdot a^2=\dfrac{1}{a}=a^{-1}$. А теперь проверим формулу «показатели складываем»: $-3+2=-1$ — то есть $a^{-3}\cdot a^{2}=a^{-3+2}=a^{-1}$. Получили один и тот же ответ! Значит, правило сложения показателей работает даже когда один из показателей отрицательный.

Три основных свойства

Свойство. Пусть $a$ и $b$ — произвольные, отличные от нуля действительные числа, а $m$ и $n$ — произвольные целые числа. Тогда справедливы равенства: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$$ $$a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$$ $$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$$ При умножении степеней одного и того же числа показатели складывают, при делении — вычитают (из показателя делимого вычитают показатель делителя), а при возведении степени в степень показатели перемножают.

        💡 Из жизни: представь счётчик этажей лифта, где движение вверх — это
        умножение на основание $a$, а вниз — деление на $a$. Если лифт сначала поднялся на
        $m$ этажей, а потом ещё на $n$ (при $n<0$ — то есть спустился), итоговое положение —
        это просто сумма шагов $m+n$, независимо от того, какие из них были подъёмами, а какие
        спусками. Формула $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ работает точно так же — знаки показателей не
        меняют правила, они уже в них учтены.
      

⚠️ Частая ошибка: при возведении степени в степень путают сложение и умножение показателей — пишут $(a^{-2})^{3}=a^{-2+3}=a^{1}$ вместо верного $(a^{-2})^{3}=a^{-2\cdot3}=a^{-6}$. Запомни: у степени степени показатели перемножаются, а не складываются — складываются показатели только при умножении двух отдельных степеней.

Пример: упрощаем выражение со степенями

Упростим выражение $\left(a^{-2}\right)^{3}\cdot a^{5}:a^{-1}$.

Сначала разберёмся со степенью степени: $\left(a^{-2}\right)^{3}$. Показатели перемножаем: $(-2)\cdot3=-6$, значит $\left(a^{-2}\right)^{3}=a^{-6}$.

Теперь умножаем $a^{-6}$ на $a^{5}$ — показатели степеней складываем: $-6+5=-1$, значит $a^{-6}\cdot a^{5}=a^{-1}$.

Осталось разделить $a^{-1}$ на $a^{-1}$ — показатели вычитаем: $-1-(-1)=0$, значит $a^{-1}:a^{-1}=a^{0}$.

По определению нулевой степени $a^{0}=1$ (при $a\neq0$). Значит, $\left(a^{-2}\right)^{3}\cdot a^{5}:a^{-1}=1$.

Запомни

1. $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ — при умножении степеней одного основания показатели складывают

2. $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ — при делении степеней одного основания показатели вычитают

3. $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножают

4. Все три свойства работают для любых целых $m$ и $n$ — не только для натуральных, как раньше

5. Дополнительно верно: $(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$ и $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}$ (при $a\neq0$, $b\neq0$)

6. Все свойства требуют $a\neq0$ (и $b\neq0$, где встречается) — на ноль делить нельзя

← Глава 2 · §8 · п.8.1 Понятие степени с целым показателем Все темы Глава 2 · §8 · п.8.3 → Стандартный вид числа

Проверь свойство сам — меняй показатели

-3

Меняй показатели m и n — формула и число всегда совпадают