Зачем сокращать запись очень больших и очень маленьких чисел
Скорость света в вакууме приближённо равна 299 792 460 м/с. Диаметр
атома — примерно 0,0000000001 м
(то есть порядка $10^{-10}$ м). Такие числа неудобно писать и читать: легко потерять
или добавить лишний нуль. В прошлой теме мы научились работать со степенями с целым
показателем — в том числе отрицательным. Это как раз то, что нужно, чтобы записывать
подобные числа коротко и без ошибок.
Идея простая: любое положительное число можно представить как произведение числа от 1
до 10 на степень десятки. Например, скорость света можно записать как
$2{,}99792460 \times 10^{8}$ м/с — гораздо компактнее, чем девять цифр подряд. Такая
запись называется стандартным видом числа.
Определение
Стандартный вид числа. Всякое положительное число $A$ можно записать
в виде
$$A = a \times 10^{k},$$
где число $a$ удовлетворяет неравенствам $1 \le a < 10$, а $k$ — целое число
(положительное, отрицательное или ноль). Такую запись называют записью числа
в стандартном виде.
Порядок числа. Число $10^{k}$ в записи (1) называют
порядком числа $A$. Порядок показывает, «в каком масштабе» находится
число: чем больше $k$, тем больше само число.
💡 Из жизни: физики и астрономы имеют дело с числами совершенно разных
масштабов — от размеров молекул до расстояний между звёздами. Сравнивать такие числа
«по количеству нулей» неудобно и рискованно. А вот сравнить их порядки — то есть
показатели $k$ — очень просто: у какого числа $k$ больше, то и число больше (при
одинаковом знаке). Стандартный вид как бы «сжимает» все нули в один множитель
$10^{k}$, оставляя только значащие цифры
числа в множителе $a$.
Чтобы перевести число в стандартный вид, нужно перенести в нём запятую так, чтобы
она оказалась сразу после первой значащей цифры (первой ненулевой цифры числа), и
умножить полученное число на $10^{k}$, где $k$ подобрано так, чтобы произведение было
равно исходному числу.
⚠️ Частая ошибка: ученики механически переносят запятую, но забывают
проверить знак показателя. Запомни правило: если исходное число больше или
равно 10, то $k$ — положительное; если число меньше 1, то
$k$ — обязательно отрицательное. Например, $0{,}0234 = 2{,}34 \times
10^{-2}$, а не $2{,}34 \times 10^{2}$ — минус в показателе нельзя терять, ведь число
меньше единицы. Вторая частая ошибка — множитель $a$ не помещается в границы
$1 \le a < 10$: например, запись $27{,}4 \times 10^{0}$ неверна, потому что
$27{,}4 \ge 10$; правильно — $2{,}74 \times 10^{1}$.
Запомни
1. Стандартный вид: $A = a \times 10^{k}$, где
$1 \le a < 10$ и $k$ — целое число
2. $10^{k}$ называют порядком числа $A$
3. Число $\ge 10$ — показатель $k$ положительный; число от 1 до
10 — $k = 0$; число $< 1$ — показатель $k$ отрицательный
4. Чтобы найти $k$ у большого числа — считаем, на сколько
разрядов запятая сдвигается влево до первой значащей цифры
5. Чтобы найти $k$ у маленького числа — считаем, на сколько
разрядов запятая сдвигается вправо до первой значащей цифры, и
берём это число со знаком «минус»
6. Стандартный вид удобен для сравнения чисел разного масштаба и
для приближённых вычислений — округлять нужно только множитель $a$