Мы уже умеем преобразовывать рациональные выражения — приводить дроби к общему
знаменателю, сокращать, раскрывать скобки. Но когда в выражении много дробей вида
$\dfrac{1}{a}$, $\dfrac{1}{(a-b)^2}$, запись быстро становится громоздкой. Оказывается,
если воспользоваться степенью с отрицательным
показателем из предыдущих пунктов, такую запись можно заметно сократить.
Например, вместо $\dfrac{1}{(a-b)^2}$ пишут $(a-b)^{-2}$,
а вместо $\dfrac{1}{\frac12+\frac13}$ — $(2^{-1}+3^{-1})^{-1}$.
Это не новое правило, а просто более компактная запись уже знакомых дробей — и работать
с ней можно теми же формулами сокращённого умножения, что и раньше.
💡 Из жизни: представь, что вместо длинной подписи «один разделить
на квадрат разности a и b» физик или программист один раз договаривается писать
коротко $(a-b)^{-2}$. Смысл тот же, а формулы — короче и их проще сравнивать
и упрощать, особенно когда таких дробей в выражении много.
Пример 1. Доказываем тождество со степенями
Докажем, что верно равенство $(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1}) = a^{-2}-b^{-2}$.
1
В левой части записано произведение разности и суммы двух выражений —
$a^{-1}$ и $b^{-1}$.
2
По формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ (здесь
$x=a^{-1}$, $y=b^{-1}$) получаем произведение — разность квадратов этих
выражений: $(a^{-1})^2-(b^{-1})^2$.
3
По свойству степени степени $(a^{-1})^2 = a^{-2}$, поэтому
$(a^{-1})^2-(b^{-1})^2 = a^{-2}-b^{-2}$ — то, что и требовалось доказать.
Запишем все дроби через степень с отрицательным показателем:
$A = \dfrac{a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{a^{-2}-b^{-2}}$.
2
В числителе — квадрат разности $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ при
$x=a^{-1}$, $y=b^{-1}$; в знаменателе — разность квадратов тех же выражений
(см. Пример 1): $A = \dfrac{(a^{-1}-b^{-1})^2}{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}$.
4
Сокращаем на общий множитель $(a^{-1}-b^{-1})$: получаем
$A = \dfrac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$.
5
Возвращаемся к обычным дробям: $a^{-1}-b^{-1}=\dfrac{b-a}{ab}$,
$a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{b+a}{ab}$. Знаменатели $ab$ сокращаются, и
$A = \dfrac{b-a}{b+a}$.
Заметь: такой же результат получится, если решать «по-старому» — через обычные
алгебраические дроби, без отрицательных показателей. Степень с отрицательным
показателем — это просто более короткая запись тех же преобразований, а не новый
способ решения.
Мини-пример: вычисление значения
Обозначим $a=999$, $b=1000$ и вычислим
$\dfrac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}{(b^{-1}-a^{-1})^2}$.
В числителе — снова разность квадратов $a^{-1}-b^{-1}$ и $a^{-1}+b^{-1}$, то есть
$a^{-2}-b^{-2}$. В знаменателе — квадрат $(b^{-1}-a^{-1})^2$, который равен
$(a^{-1}-b^{-1})^2$ (знак при возведении в квадрат исчезает). Значит, после сокращения
на общий множитель $(a^{-1}-b^{-1})$ остаётся
$\dfrac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} = \dfrac{b+a}{b-a} = \dfrac{1999}{1} = 1999$.
⚠️ Частая ошибка: степень с отрицательным показателем путают с
отрицательным числом. $a^{-2}$ — это не $-a^2$, а
$\dfrac{1}{a^2}$ (положительное число при положительном $a$). Вторая частая
ошибка — «раскрывать» скобки почленно: $(a+b)^{-1} \ne a^{-1}+b^{-1}$, потому что
степень относится ко всей сумме в скобках целиком, а не к каждому слагаемому по
отдельности. Проверить легко: $\dfrac{1}{a+b}$ и $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ — это
разные дроби.
Запомни
1. Степень с отрицательным показателем — короткая запись
дроби: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ при $a \ne 0$
2. Все формулы сокращённого умножения (квадрат суммы,
квадрат разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) работают
для выражений с отрицательными показателями точно так же, как для обычных
3. $(a+b)^{-1} \ne a^{-1}+b^{-1}$ — степень относится ко
всей скобке целиком, раскрывать почленно нельзя
4. Алгоритм упрощения: (1) записать все дроби через
степень с отрицательным показателем; (2) применить формулы к получившимся
выражениям; (3) сократить общие множители; (4) при необходимости вернуться
к обычной записи дробью
5. Такая запись — не новый способ решения, а более компактная
форма уже знакомых преобразований алгебраических дробей