Уравнения вида $5x-3=0$, $-2x-7=0$, $x+5=0$, $3x=0$ — всё это примеры
уравнений первой степени с одним неизвестным $x$. Выражение слева от
знака равенства называют левой частью уравнения, а выражение
справа — правой частью.
Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным $x$
называют уравнение, левая часть которого — многочлен стандартного вида первой степени
относительно $x$, а правая часть — нуль. Общий вид такого уравнения:
$$kx + b = 0 \quad (k \ne 0)$$
Здесь $k$ и $b$ — данные числа. Число $k$
называют коэффициентом при неизвестном, а число $b$ —
свободным членом уравнения. Так, в уравнении $5x-3=0$ коэффициент
равен $5$, а свободный член равен $-3$; в уравнении $3x=0$ коэффициент равен $3$,
а свободный член равен $0$.
Корень уравнения
Корнем (или решением) уравнения называют такое число, при подстановке
которого в уравнение вместо $x$ получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни.
💡 Из жизни: представь весы с двумя чашами. Пока обе части
уравнения «уравновешены» — равенство верное. Задача решения уравнения — узнать,
какое число нужно положить вместо $x$, чтобы чаши остались в равновесии. Справа —
интерактивные весы, на которых это видно прямо по ходу решения.
Уравнение первой степени $kx+b=0$ при $k\ne0$ всегда имеет ровно один корень:
$x_0 = -\dfrac{b}{k}$. Ниже — почему это так и как его найти.
Как решить уравнение первой степени
Чтобы найти корень уравнения $kx+b=0$ ($k\ne0$), можно рассуждать так. Если число
$x_0$ — корень, то подстановка даёт верное равенство $kx_0+b=0$. Перенесём число $b$
в правую часть с противоположным знаком — получим $kx_0=-b$. Разделим обе части на
$k$ ($k\ne0$) — получим $x_0=-\dfrac{b}{k}$. Проверка подстановкой показывает, что это
число действительно подходит, значит уравнение имеет единственный корень.
Уравнения, которые имеют одно и то же множество корней (или оба не имеют корней),
называют равносильными. Перенос слагаемого в другую часть со сменой
знака и деление обеих частей на одно и то же число, не равное нулю, — это
преобразования, которые заменяют уравнение на равносильное ему, то есть не меняют
его корень.
Итак, чтобы решить уравнение $kx+b=0$, нужно:
1. Перенести свободный член $b$ в правую часть, поменяв
у него знак на противоположный: $kx=-b$
2. Разделить обе части полученного уравнения на коэффициент
$k$ ($k\ne0$): $x=-\dfrac{b}{k}$
Пример: решаем $5x-3=0$ по шагам
1
В уравнении $5x-3=0$ коэффициент
при неизвестном $k=5$, свободный член $b=-3$.
2
Переносим свободный член $-3$ в правую часть, меняя знак на противоположный:
$5x=3$.
3
Делим обе части на коэффициент $5$:
$x=\dfrac{3}{5}=0{,}6$.
4
Проверка: подставим $x=0{,}6$ в исходное уравнение —
$5\cdot 0{,}6-3=3-3=0$. Равенство верное, значит $x=0{,}6$ —
корень уравнения, и он единственный.
⚠️ Частая ошибка: при переносе слагаемого из одной части уравнения
в другую забывают поменять знак. Например, из $5x-3=0$ по ошибке пишут $5x=-3$
вместо верного $5x=3$. Правило простое: слагаемое можно «перебросить» через знак
равенства, но при этом оно обязано сменить знак на противоположный — это не
отдельное правило для уравнений, а следствие того, что к обеим частям равенства
прибавили одно и то же число (в примере — прибавили $3$ к обеим частям).
🧠 Запомни: уравнение первой степени $kx+b=0$ ($k\ne0$) всегда имеет
ровно один корень $x=-\dfrac{b}{k}$. Чтобы его найти: (1) перенеси свободный член в
другую часть со сменой знака; (2) раздели обе части на коэффициент при $x$. Обе эти
операции заменяют уравнение на равносильное — корень не меняется, что и видно на
весах: чаши остаются в равновесии на каждом шаге решения.