В прошлом пункте мы разбирали уравнения вида $kx+b=0$ при $k\ne0$ — уравнения первой
степени. Но что если коэффициент при $x$ окажется равным нулю? Такое тоже случается,
например, после раскрытия скобок и приведения подобных членов. Уравнения вида
$7x+9=0$, $3x-5+2x-1=2$, $4x-3=3x-4$, $0=2x-7-x-1$ — все они называются
линейными уравнениями с одним неизвестным $x$.
Определение. Линейным уравнением с одним неизвестным $x$ называют
уравнение, левая и правая части которого — многочлены степени не выше первой
относительно $x$ (или числа). Любое такое уравнение после переноса всех членов в одну
часть и приведения подобных принимает общий вид:
$$kx + b = 0$$
где $k$ и $b$ — данные числа. В отличие от уравнения первой степени, здесь коэффициент
$k$ может быть равен нулю. Значит, у линейного уравнения возможны три
разных исхода:
1. Если $k\ne0$ — уравнение имеет единственный корень
$x=-\dfrac{b}{k}$ (это и есть уравнение первой степени из §9.1).
2. Если $k=0$ и $b\ne0$ — уравнение принимает вид $0\cdot x+b=0$,
то есть $b=0$, что неверно. Уравнение не имеет корней.
3. Если $k=0$ и $b=0$ — уравнение верно при любом $x$, значит оно
имеет бесконечно много корней: любое действительное число подходит.
Равносильные уравнения
Определение. Два уравнения называют равносильными,
если любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот. Если оба
уравнения вовсе не имеют корней — их тоже считают равносильными.
💡 Из жизни: представь, что уравнение — это загадка «угадай число».
Два уравнения равносильны, если у них одна и та же отгадка (или обе загадки вообще
без ответа). Например, уравнения $2x=4$ и $3x=6$ равносильны — у обоих единственный
корень $x=2$. А уравнения $0x=4$ и $0x=6$ тоже равносильны — просто у обоих корней нет.
Чтобы решать линейные уравнения, нужно уметь превращать сложное уравнение в простое,
не теряя и не приобретая корней по пути. Для этого существуют
три свойства равносильности — они и позволяют
преобразовывать уравнение шаг за шагом.
Три свойства равносильности уравнений
Справа — интерактивная демонстрация всех трёх свойств на весах: какое бы из них мы ни
применили, весы остаются в равновесии — значит, корень уравнения не меняется.
Свойство 1.Если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное
исходному.
Например, умножив обе части уравнения $x-1=2x-\dfrac{1}{7}$ на $7$, получим уравнение
$7x-7=14x-1$, равносильное исходному.
Свойство 2.Если перенести член уравнения с противоположным
знаком из одной части уравнения в другую, то получится уравнение, равносильное
исходному.
Например, уравнения $3-2x=5x+3$ и $3=5x+3+2x$ равносильны: член $-2x$ перенесён из
левой части в правую с изменением знака на $+2x$.
Свойство 3.Если в левой или правой части уравнения привести
подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному.
Например, уравнения $x+x+2-1=0$ и $2x+1=0$ равносильны — во втором просто приведены
подобные члены первого.
Общий алгоритм решения линейного уравнения
Опираясь на три свойства выше, любое линейное уравнение решают по одному и тому же
плану:
1. Если есть скобки — раскрыть их (свойство распределения).
2. Привести подобные члены в каждой части уравнения (свойство 3).
3. Перенести все члены с $x$ в одну часть, а числа — в другую,
меняя знак у каждого переносимого члена (свойство 2).
4. Снова привести подобные члены — получится уравнение вида
$kx=b$ или $kx+b=0$ (свойство 3).
5. Если $k\ne0$ — разделить обе части на $k$ (свойство 1) и
получить корень $x=\dfrac{b}{k}$. Если $k=0$ — смотреть на исход из первого блока
этой темы: либо корней нет, либо их бесконечно много.
Пример: решаем уравнение со скобками по шагам
Решим уравнение $5(x-1)+2x = 3(2x+1)-4$.
1
Раскрываем скобки в обеих частях: $5(x-1)=5x-5$ и $3(2x+1)=6x+3$. Уравнение
принимает вид $5x-5+2x = 6x+3-4$.
2
Приводим подобные члены в каждой части: слева $5x+2x=7x$, справа $3-4=-1$.
Получаем $7x-5 = 6x-1$.
3
Переносим член $6x$ из правой части в левую, а член $-5$ — из левой части в
правую, меняя у каждого знак: $7x-6x = -1+5$.
4
Приводим подобные ещё раз: $7x-6x=x$, $-1+5=4$. Получаем $x=4$.
⚠️ Частая ошибка: при раскрытии скобок $3(2x+1)$ умножают коэффициент
только на первое слагаемое и пишут $6x+1$ вместо верного $6x+3$ — забывают, что
множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри неё.
Вторая частая ошибка — при переносе через знак равенства меняют знак только у
переносимого члена, но случайно трогают знаки у остальных членов той же части.
И третье — приведение подобных членов в любой части уравнения не меняет его корни.
Любое линейное уравнение сводится к виду $kx+b=0$ именно этими тремя действиями.