В §9.2 мы разобрали, откуда берётся общий вид линейного уравнения $kx+b=0$, какие три
свойства равносильности позволяют его получить, и почему у линейного уравнения возможны
три разных исхода — единственный корень, отсутствие корней или бесконечно много корней.
Теперь применим эти знания на практике: решим несколько уравнений разного типа и увидим
оба «особых» случая на живых примерах.
1. Если есть скобки — раскрыть их.
2. Привести подобные члены в каждой части уравнения.
3. Перенести все члены с $x$ в одну часть, а числа — в другую,
меняя знак у каждого переносимого члена.
4. Снова привести подобные — получится уравнение вида $kx+b=0$.
5. Дальше — три варианта:
$k\ne0$ — единственный корень,
$k=0,\ b\ne0$ — корней нет,
$k=0,\ b=0$ — корней бесконечно много.
Пример 1. Обычный случай — единственный корень
Решим уравнение $3x-5+2x-1=0$.
Приведя подобные члены в левой части, получаем равносильное уравнение $5x-6=0$. У него
единственный корень:
$$x_0=\frac{6}{5}=1{,}2$$
💡 Всего один шаг — привести подобные, и уравнение сразу принимает вид $kx+b=0$ с
$k=5\ne0$. Это самый частый случай: почти любое уравнение при решении сводится именно
к нему.
Особые случаи: когда корней нет или бесконечно много
Иногда после всех преобразований буква $x$ полностью исчезает из
уравнения — остаётся только числовое равенство. Тогда результат зависит не от вида
исходного уравнения, а только от того, верное это числовое равенство или нет.
Пример 2. Корней нет
Решим уравнение $2x+8=2x+6$.
Перенеся члены правой части в левую: $2x+8-2x-6=0$. Приведя подобные, получаем
$0\cdot x+2=0$, то есть попросту $2=0$ — а это
неверное числовое равенство ни при каком $x$. Значит, уравнение не имеет
корней.
Пример 3. Бесконечно много корней
Решим уравнение $2x+1=3x+1-x$.
Перенеся члены правой части в левую и приведя подобные, получаем
$0\cdot x+0=0$, то есть $0=0$ — а это верное
равенство при любом значении $x$. Значит, у уравнения бесконечно много
корней: подходит любое действительное число.
💡 Из жизни: представь, что $x$ — это гиря на обеих чашах весов сразу
и в одинаковом количестве. Сними одинаковые гири с обеих сторон — они не влияют на
равновесие. Если после этого на весах остались разные числа — весы никогда не
уравновесятся (корней нет). Если же чаши опустели одновременно — они уравновешены при
любой добавленной гире $x$ (корней бесконечно много). Справа — эта же идея на весах: три
вкладки под примеры 1–3.
Пример 4. Уравнение со вложенными скобками
Решим уравнение $x-(x+2(x-1))=4$.
1
Умножаем число $2$ на многочлен $(x-1)$: $2(x-1)=2x-2$. Уравнение принимает вид
$x-(x+2x-2)=4$.
2
Раскрываем внешние скобки (перед ними стоит минус — меняем знак каждого
слагаемого внутри): $x-x-2x+2=4$.
3
Переносим число $2$ в правую часть с противоположным знаком и приводим подобные
в обеих частях: $-2x=2$.
4
Делим обе части на $-2$: $x_0=-1$ — единственный корень уравнения.
Общий знаменатель дробей $2$, $3$ и $6$ — это число $6$. Умножаем на него обе
части уравнения, чтобы избавиться от дробей: $3(5x-7)-2(3x+1)=x+17$.
2
Умножаем числа на многочлены в скобках: $15x-21-6x-2=x+17$.
3
Переносим все члены с $x$ влево, а числа — вправо (с противоположными знаками) и
приводим подобные в обеих частях: $8x=40$.
4
Делим обе части на $8$: $x_0=5$ — единственный корень уравнения.
⚠️ Частая ошибка: получив уравнение вида $0\cdot x+2=0$, многие ученики
по инерции пишут «$x=0$», не заметив, что коэффициент при $x$ сам стал нулём. На самом
деле здесь правильный ответ — «корней нет»: подставлять просто нечего, ведь $x$ уже
пропал из уравнения. Другая частая ошибка в примерах с дробями — умножают на общий
знаменатель только слагаемые с дробью, а слагаемое без знаменателя (как $x+17$ в
примере 5) забывают умножить наравне с остальными.
🧠 Запомни: решая линейное уравнение, всегда сводим его к виду $kx+b=0$
по одному и тому же плану — раскрыть скобки, привести подобные, перенести члены с $x$
в одну часть, а числа в другую, и снова привести подобные. Дальше действует правило: