Всё, что мы изучили про линейные уравнения в §9.1–9.3, нужно не само по себе, а чтобы
решать текстовые задачи: там, где условие описано словами, а не готовым
уравнением. Идея простая — превратить условие задачи в математический язык, а дальше
уравнение решит всю работу за нас.
1. Обозначить буквой $x$ то неизвестное количество, которое нужно
найти в задаче.
2. Выразить через $x$ все остальные величины, о которых говорится
в условии.
3. Составить уравнение, используя ту часть условия, которая ещё не
была использована при составлении выражений.
4. Решить получившееся линейное уравнение.
5. Проверить, соответствует ли найденный корень
смыслу задачи (не только уравнению!), и записать ответ.
💡 Из жизни: задача на числа — это как загадка, в которой спрятанное
число зовут $x$. Как только мы правильно «переведём» слова условия на язык уравнения —
дальше работает обычная техника решения, которую мы уже отработали.
Пример 1. Старинная задача про гусей
Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!»
А вожак ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот если бы нас было столько, ещё столько,
да ещё полстолько, да ещё четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей. Вот и
рассчитай-ка, сколько нас».
1
Обозначим количество гусей в стае через $x$.
2
Разбираем слова вожака: «ещё столько же» — это ещё
$x$ гусей; «ещё полстолько же» — ещё
$\dfrac{x}{2}$; «ещё четверть столько
же» — ещё $\dfrac{x}{4}$; и ещё сам
гусь, который спрашивает, — $1$. Вместе
получилось бы 100.
3
Составляем уравнение по смыслу условия:
$$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+x+1=100$$
4
Решаем: приводим подобные слагаемые в левой части —
$\dfrac{11x}{4}+1=100$, затем $\dfrac{11x}{4}=99$, откуда
$x_0=36$.
5
Проверка по смыслу задачи: $36+36+18+9+1=100$ — верно, и число гусей получилось
целым и положительным, как и должно быть. Ответ: 36 гусей.
Пример 2. Задача про возраст отца и сына
Отцу 50 лет, а сыну 20. Сколько лет тому назад отец был в 3 раза старше сына?
1
Обозначим искомое число лет через $x$.
2
Тогда $x$ лет назад отцу было $(50-x)$ лет, а сыну — $(20-x)$ лет.
3
По условию в то время отец был в 3 раза старше сына, значит составляем уравнение:
Проверка по смыслу задачи: 5 лет назад отцу было $50-5=45$ лет, а сыну — $20-5=15$
лет; действительно $45=3\cdot15$. Ответ: пять лет назад.
⚠️ Частая ошибка: буквой $x$ обозначают не ту величину, которую
спрашивает вопрос задачи. Например, в задаче про возраст ошибочно обозначают через $x$
текущий возраст сына, хотя вопрос — «сколько лет назад» — а это
совершенно другая величина, и все дальнейшие выражения запутываются. Другая частая ошибка —
найдя корень уравнения, сразу писать его в ответ, не проверив, подходит ли он по смыслу
(число гусей не может быть дробным или отрицательным, «лет назад» не может быть больше
текущего возраста).
🧠 Запомни: решение текстовой задачи через уравнение — это всегда одна и
та же цепочка: обозначить неизвестное через $x$ → выразить остальные величины через $x$ →
составить уравнение по ещё не использованной части условия → решить уравнение →
проверить корень по смыслу задачи, а не только как решение уравнения, и
только потом записать ответ.