До сих пор в уравнении было только одно неизвестное — $x$. Но бывают ситуации, где неизвестных
сразу два. Например: «два карандаша и три тетради стоят 130 рублей» — здесь неизвестны и цена
карандаша, и цена тетради одновременно. Такое условие превращается в уравнение сразу с двумя
буквами.
Определение. Уравнение $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — данные числа и
хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ отлично от нуля, а $x$ и $y$ — неизвестные, называют
уравнением первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$.
Числа $a$ и $b$ называют коэффициентами при неизвестных: $a$ — коэффициент при $x$,
$b$ — коэффициент при $y$. Число $c$ называют свободным членом. Например, в уравнении
$2x-3y+3=0$ коэффициент при $x$ равен $2$, при $y$
равен $-3$, а свободный член равен $3$.
💡 Из жизни: уравнение с двумя неизвестными — это как одна фраза-подсказка про
два числа сразу, а не про одно. Само по себе оно не называет оба числа точно — оно лишь связывает
их условием.
Решение — это пара чисел
Определение. Пару чисел $(x_0;\,y_0)$ называют решением
уравнения $ax+by+c=0$, если при подстановке $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ уравнение
превращается в верное числовое равенство: $ax_0+by_0+c=0$.
Возьмём уравнение $2x-3y+3=0$. Пара чисел $(0;\,1)$
— его решение, потому что $2\cdot 0-3\cdot 1+3=0$ — верно. А вот пара $(2;\,2)$ решением уже
не будет: $2\cdot 2-3\cdot 2+3=1\ne 0$ —
равенство неверное.
Уравнение с двумя неизвестными устроено не так, как обычное уравнение с одним неизвестным:
у него бесконечно много решений. Причина проста:
если подставить в уравнение любое число $x_0$ вместо $x$, то получится обычное линейное
уравнение с одним неизвестным $y$ — а такое уравнение (при $b\ne 0$) всегда решается и даёт
число $y_0$. Так как число $x_0$ можно выбрать бесконечным множеством способов, то и решений
$(x_0;\,y_0)$ получается бесконечно много.
Пример. Найдём несколько решений уравнения $2x-3y+3=0$
1
Выразим $y$ через $x$: перенесём $2x$ и $3$ в правую часть — $-3y=-2x-3$, разделим на
$-3$ — получим формулу $y=\dfrac{2}{3}x+1$.
2
Теперь любому числу $x_0$ можно сопоставить своё $y_0$ по этой формуле. Возьмём
$x_0=0$: $y_0=\dfrac{2}{3}\cdot 0+1=1$ —
пара $(0;\,1)$.
3
Возьмём $x_0=1$:
$y_0=\dfrac{2}{3}\cdot 1+1=\dfrac{5}{3}$ — пара $(1;\,\frac{5}{3})$.
4
Возьмём $x_0=3$:
$y_0=\dfrac{2}{3}\cdot 3+1=3$ — пара $(3;\,3)$.
$(0;\,1)$
$(1;\,\frac{5}{3})$
$(3;\,3)$
Так можно продолжать сколько угодно — подставляя любое $x_0$, всегда найдётся своё $y_0$.
Значит, у уравнения $2x-3y+3=0$ действительно бесконечно много решений, и все они записываются
в виде $\left(x;\ \dfrac{2}{3}x+1\right)$, где $x$ — любое число.
⚠️ Частая ошибка: школьники думают, что уравнение с двумя неизвестными,
как и обычное линейное уравнение, должно иметь одно-единственное решение — и пытаются «решить»
его до конца, найти конкретные числа $x$ и $y$. На самом деле у одного такого уравнения (без
дополнительных условий) решений бесконечно много — это пары чисел, а не два отдельных числа.
Найти единственную пару $(x;y)$ можно только тогда, когда таких уравнений два —
это и есть система уравнений, следующая тема.
🧠 Запомни: уравнение $ax+by+c=0$ (при $a$ или $b$ не равном нулю) — уравнение
первой степени с двумя неизвестными. Решение — пара чисел $(x_0;y_0)$, обращающая его в верное
равенство. Такое уравнение всегда имеет бесконечно много решений: выразив $y$ через $x$ (при
$b\ne 0$), можно подставить вместо $x$ любое число и получить своё решение.