Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Когда нужны сразу два уравнения
Задача. Известно, что разность лет брата и сестры равна 3, а сумма — 15. Сколько лет
брату и сколько сестре? Пусть брату $x$ лет, а сестре $y$ лет. Разность лет: $x-y=3$. Сумма лет:
$x+y=15$. Искомые $x$ и $y$ должны выполнять оба равенства одновременно — одного уравнения
уже не хватает, чтобы найти оба числа сразу.
Определение. Если даны два уравнения первой степени с двумя неизвестными
$x$ и $y$ — $a_1x+b_1y+c_1=0$ и $a_2x+b_2y+c_2=0$ — и требуется найти все пары чисел $(x_0;\,y_0)$,
которые являются решениями одновременно и первого, и второго уравнения, то говорят, что
дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Уравнения системы
записывают в столбик и объединяют слева фигурной скобкой:
$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$$
Для нашей задачи это $\begin{cases} x-y-3=0 \\ x+y-15=0 \end{cases}$. Можно подобрать пару
$x=9$, $y=6$ — она удовлетворяет каждому уравнению. Значит, брату 9 лет, сестре — 6 лет. Такая
система (когда коэффициенты при $x$ и $y$ непропорциональны) всегда имеет
ровно одно решение — точку пересечения двух прямых
(на графике справа для наглядности показана система с меньшими числами).
💡 Из жизни: одно уравнение с двумя неизвестными — это как одна подсказка про два
числа. Чтобы найти оба числа точно, нужна вторая, независимая подсказка. Две подсказки вместе
(два уравнения) и «зажимают» единственную подходящую пару чисел.
Решение системы — тоже пара чисел
Решением системы называют такую пару чисел $(x_0;\,y_0)$, которая является
решением каждого уравнения системы. Решить систему — значит найти все
её решения или доказать, что решений нет.
Как проверить, что пара чисел — решение системы? Нужно подставить оба числа в оба уравнения по
очереди: если оба равенства получаются верными — пара является решением системы. Если хотя
бы одно равенство неверно — пара решением системы не является, даже если она подошла для второго
уравнения.
Сколько решений может быть у системы
Возьмём общую систему $\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$, где все
коэффициенты при неизвестных отличны от нуля.
Если $a_1:a_2 \ne b_1:b_2$ — коэффициенты непропорциональные. Такая система имеет
ровно одно решение.
Если $a_1:a_2 = b_1:b_2$ — коэффициенты пропорциональные. Тогда возможны два
случая: если при этом ещё и свободные члены не выдерживают ту же пропорцию, система
не имеет ни одного решения; а если пропорцию
выдерживают и коэффициенты, и свободные члены —
система имеет бесконечно много решений.
За этим стоит простая картинка: каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными задаёт на
координатной плоскости прямую. Решение системы — это точка, которая лежит сразу на обеих прямых,
то есть их пересечение. Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны и вовсе не
встречаются, либо совпадают целиком. Переключай вкладки справа и смотри все три случая.
Пример. Проверим пару чисел (−3; 1)
Проверим, является ли пара $(-3;\,1)$ решением системы $\begin{cases} x-y+4=0 \\ 3x+4y+5=0 \end{cases}$.
1
Подставим $x=-3$, $y=1$ в первое уравнение: $x-y+4 = -3-1+4 = 0$. Равенство верное — пара
подходит для первого уравнения.
2
Подставим те же числа во второе уравнение: $3x+4y+5 = 3\cdot(-3)+4\cdot 1+5 = -9+4+5=0$.
Равенство тоже верное.
3
Оба равенства обратились в верные — значит, пара $(-3;\,1)$ является решением
каждого уравнения, а значит, и решением всей системы.
⚠️ Частая ошибка: проверив пару чисел только в одном уравнении системы и получив
верное равенство, школьники сразу делают вывод, что пара — решение всей системы. Но пара обязана
подходить к обоим уравнениям сразу. Пара может быть решением первого уравнения и не быть
решением второго — тогда она не является решением системы.
🧠 Запомни: система из двух уравнений первой степени с двумя неизвестными —
это требование найти пару $(x_0;\,y_0)$, которая одновременно решает оба уравнения. Графически
каждое уравнение — прямая, а решение системы — точка их пересечения. Если коэффициенты при $x$
и $y$ непропорциональны — решение одно. Если пропорциональны, но свободные члены выбиваются из
пропорции — решений нет (прямые параллельны). Если пропорциональны и коэффициенты, и свободные
члены — решений бесконечно много (прямые совпадают).