В прошлом пункте мы узнали, что система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
(у которой коэффициенты при $x$ и $y$ отличны от нуля и непропорциональны) всегда имеет ровно
одно решение — это точка пересечения двух прямых. Но чертить график каждый раз неудобно и не
всегда точно. Нужен способ находить решение вычислением, без рисунка.
💡 Из жизни: представь, что в одной подсказке сказано «твой возраст равен возрасту
друга плюс 3». Тогда всюду, где в другой подсказке встречается «твой возраст», можно смело
подставить вместо него «возраст друга плюс 3» — и в этой другой подсказке останется только
одна неизвестная величина. Ровно так работает способ подстановки: одну переменную выражают через
другую и всюду ею заменяют.
Способ подстановки — это способ решения системы, при котором одну неизвестную
сначала выражают через другую из одного уравнения, а затем полученное выражение подставляют вместо
неё в другое уравнение системы. В результате остаётся только одна неизвестная — и обычное уравнение
первой степени с одним неизвестным, которое мы уже умеем решать.
Алгоритм способа подстановки
Пусть дана система $\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$, где коэффициенты
при $x$ и $y$ отличны от нуля и непропорциональны. Чтобы решить её способом подстановки, нужно
выполнить четыре действия подряд.
1
Одно из неизвестных (например, $y$) выразить через другое
неизвестное из любого (какое удобнее) уравнения системы.
2
Полученное выражение подставить вместо $y$ в
другое уравнение системы — то, из которого $y$ не выражали.
3
Решить полученное уравнение с одним неизвестным $x$ —
обычным способом переноса слагаемых и деления на коэффициент.
4
Подставить найденное значение $x_0$ в формулу для $y$, найти
$y_0$. Пара чисел $(x_0;\,y_0)$ и будет единственным решением системы.
💡 Выражать через другую переменную можно любое неизвестное и из любого уравнения
системы — результат (единственное решение) от этого не изменится, поменяется только количество
вычислений.
Пример 1. Решим систему $\begin{cases} 2x-y+4=0 \\ 3x+4y-27=0 \end{cases}$
1
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $2x-y+4=0 \Rightarrow$
$$y = 2x+4$$
2
Подставим во второе уравнение выражение $2x+4$ вместо $y$ (обязательно в
скобках, ведь это целое выражение из двух слагаемых):
$$3x+4(2x+4)-27=0$$
3
Раскроем скобки и решим уравнение с одной неизвестной $x$: $3x+8x+16-27=0$, т. е.
$11x-11=0$, откуда
$$x_0 = 1$$
4
Подставим $x_0=1$ в формулу $y=2x+4$ и найдём $y_0$:
$$y_0 = 2\cdot 1+4 = 6$$
5
Проверим: $2\cdot1-6+4=0$ и $3\cdot1+4\cdot6-27=0$ — оба равенства верны. Значит, система
имеет единственное решение — пару чисел
$$(x_0;\,y_0)=(1;\,6)$$
Пример 2. Решим систему $\begin{cases} 4x-5y-1=0 \\ 7x-y+6=0 \end{cases}$
В этот раз удобнее выразить $y$ не из первого, а из второго уравнения — там у $y$
коэффициент $-1$, и делить ни на что не придётся.
1
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $7x-y+6=0 \Rightarrow$
$$y = 7x+6$$
2
Подставим в первое уравнение выражение $7x+6$ вместо $y$:
$$4x-5(7x+6)-1=0$$
3
Раскроем скобки и решим уравнение с одной неизвестной $x$: $4x-35x-30-1=0$, т. е.
$-31x-31=0$, откуда
$$x_0 = -1$$
4
Подставим $x_0=-1$ в формулу $y=7x+6$ и найдём $y_0$:
$$y_0 = 7\cdot(-1)+6 = -1$$
5
Оба уравнения обращаются в верные равенства, значит система имеет единственное решение —
пару чисел
$$(x_0;\,y_0)=(-1;\,-1)$$
⚠️ Частая ошибка: при подстановке выражения вида $2x+4$ или $7x+6$ вместо $y$
школьники забывают заключить его в скобки: пишут $3x+4\cdot2x+4-27=0$ вместо верного
$3x+4(2x+4)-27=0$. Без скобок множитель $4$ умножится только на первое слагаемое $2x$, а не на всё
выражение целиком — и корень уравнения получится неверным. Подставляемое выражение всегда берут в
скобки, если в нём больше одного слагаемого.
🧠 Запомни: способ подстановки — это четыре шага: 1) выразить одну переменную через
другую из любого уравнения системы; 2) подставить это выражение в другое уравнение;
3) решить получившееся уравнение с одной неизвестной $x$; 4) подставить найденное $x_0$ в формулу
для $y$ и найти $y_0$. Пара $(x_0;\,y_0)$ — единственное решение системы.