7 класс · Действительные числа

Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь

Какой знаменатель даёт конечную десятичную дробь

Мы уже знаем: конечную десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$. Посмотрим внимательно на знаменатели, которые при этом получаются:

$0{,}375 = \dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3}$;   $6{,}72 = \dfrac{672}{100} = \dfrac{168}{25} = \dfrac{168}{5^2}$;   $0{,}065 = \dfrac{65}{1000} = \dfrac{13}{5^2 \cdot 2^3}$.

Во всех примерах после сокращения знаменатель не содержит никаких простых делителей, кроме $2$ и $5$. Это не совпадение — так происходит всегда.

Утверждение. Если несократимую дробь $\dfrac{p}{q}$ записать в виде конечной десятичной дроби, то её знаменатель $q$ не имеет других простых делителей, кроме $2$ и $5$. Верно и обратное: если знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$ не имеет простых делителей, кроме $2$ и $5$, то эта дробь раскладывается в конечную десятичную дробь.

Значит, прежде чем пытаться превратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разложить знаменатель на простые множители и проверить: остались там только двойки и пятёрки — дробь раскладывается в конечную десятичную; появился хоть один другой простой множитель (например, $3$, $7$, $11$, $13$) — не раскладывается. Проверь это на вкладке «Проверка знаменателя» справа — там же примеры: $\dfrac{1}{64}$, $\dfrac{1}{48}$, $\dfrac{1}{625}$ и $\dfrac{1}{78}$.

💡 Из жизни: линейка размечена на миллиметры — то есть отрезок в $1$ см поделен на $10$ равных частей, а $1$ дм — на $100$. Поэтому любую длину вида $\dfrac{1}{2}$ см, $\dfrac{1}{4}$ см или $\dfrac{1}{5}$ см линейка покажет ровно, без приближений: знаменатели $2$, $4=2^2$, $5$ содержат только двойки и пятёрки. А вот отмерить линейкой ровно $\dfrac{1}{3}$ см не получится — сколько ни дели миллиметры на десятые доли, точного деления не выйдет, потому что $3$ не равно ни $2$, ни $5$.

Как разложить дробь в десятичную: два способа

Если знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$ не имеет других простых делителей, кроме $2$ и $5$, существует два способа получить десятичную запись.

Способ 1. Умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилась степень числа $10$. Например:

$$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0{,}8$$

Или: $\dfrac{501}{500} = \dfrac{501 \cdot 2}{500 \cdot 2} = \dfrac{1002}{1000} = 1{,}002$; $\ \dfrac{3}{40} = \dfrac{3 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \dfrac{75}{1000} = 0{,}075$.

Способ 2. Разделить числитель на знаменатель уголком — так же, как делят обычные числа, только продолжают деление после запятой. Оба способа всегда приводят к одной и той же десятичной дроби. Разберём деление $3 : 40$ уголком по шагам:

Попробуй сам разделить уголком другие дроби на вкладке «Деление уголком» справа.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Десятичную дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр, называют конечной десятичной дробью. Позже придётся рассматривать и бесконечные десятичные дроби — в их записи после запятой бесконечно много цифр. Такое бывает как раз тогда, когда знаменатель несократимой дроби содержит простой множитель, отличный от $2$ и $5$.

⚠️ Частая ошибка: ученики иногда пытаются «оборвать» деление любой дроби на несколько цифр и считают результат точным. Например, деля $1$ на $3$, получают $0{,}333\ldots$ и записывают $0{,}3$ или $0{,}333$, думая, что дробь конечная. Это неверно: знаменатель $3$ не равен ни $2$, ни $5$ (и не является их степенью), поэтому $\dfrac{1}{3}$ не раскладывается в конечную десятичную дробь вообще — деление уголком никогда не даст остаток $0$. Проверка знаменателя на простые множители должна быть первым шагом, до того как начинать деление.
🧠 Запомни: обыкновенная несократимая дробь $\dfrac{p}{q}$ раскладывается в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда знаменатель $q$ не содержит простых делителей, кроме $2$ и $5$. Раскладывать можно двумя способами: умножением числителя и знаменателя до степени $10$, или делением уголком — результат один и тот же.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике