Второй способ решения системы — сложение вместо подстановки
В прошлом пункте мы решали системы способом подстановки: выражали одну переменную через другую
и всюду её заменяли. Но иногда выражать переменную неудобно — например, если коэффициенты при
$x$ и $y$ не равны единице и делить пришлось бы «в лоб». Для таких случаев есть другой способ —
способ уравнивания коэффициентов, или способ сложения.
💡 Из жизни: представь, что у тебя есть весы с двумя одинаковыми гирьками неизвестной
массы на разных чашах вместе с другими гирьками — если добавить или убрать с обеих чаш поровну,
весы останутся в равновесии. Так же и с уравнениями системы: если у одной из переменных сделать
коэффициенты одинаковыми (или противоположными) в обоих уравнениях, то при сложении или вычитании
уравнений эта переменная просто исчезнет — останется уравнение с одной неизвестной.
Способ уравнивания коэффициентов (способ сложения) — способ решения системы, при
котором оба уравнения (или одно из них) умножают на подходящие числа так, чтобы коэффициенты при
одной из переменных стали равными или противоположными, а затем уравнения складывают или вычитают,
чтобы эта переменная сократилась. В результате остаётся уравнение с одной неизвестной.
Алгоритм способа сложения
Пусть дана система $\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$, где коэффициенты
при $x$ и $y$ отличны от нуля и непропорциональны. Чтобы решить её способом уравнивания
коэффициентов, нужно выполнить четыре действия подряд.
1
Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты
при одном из неизвестных (например, при $x$) в обоих уравнениях системы.
2
Вычесть одно уравнение из другого (если коэффициенты
стали равными) — или сложить уравнения (если коэффициенты
стали противоположными). Переменная $x$ при этом исчезает.
3
Решить полученное уравнение с одним неизвестным $y$.
4
Подставить найденное значение $y_0$ в любое уравнение системы
и найти из него $x_0$. Пара чисел $(x_0;\,y_0)$ и будет единственным решением системы.
💡 Уравнивать можно коэффициенты при любой из переменных — при $x$ или при $y$, результат (решение
системы) от этого не изменится. Если коэффициенты при какой-то переменной уже противоположны
(например, $2$ и $-2$), домножать ничего не нужно — сразу складывай уравнения.
Пример 1. Решим систему $\begin{cases} 6x+7y+17=0 \\ 4x+5y+9=0 \end{cases}$
Коэффициенты при $x$ — это $6$ и $4$. Их общее кратное — $12$: домножим первое уравнение на $2$,
а второе — на $3$.
1
Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$, чтобы коэффициенты при $x$ стали
одинаковыми ($12$ и $12$):
$$\begin{cases} 12x+14y+34=0 \\ 12x+15y+27=0 \end{cases}$$
2
Коэффициенты при $x$ равны, значит вычтем из второго уравнения
первое (вычитаем почленно, меняя знак у каждого слагаемого второго уравнения):
$$(12x+15y+27)-(12x+14y+34)=0$$
3
Слагаемые с $x$ сократились. Приведём подобные и решим уравнение с одной неизвестной $y$:
$y-7=0$, откуда
$$y_0 = 7$$
4
Подставим $y_0=7$ в первое из исходных уравнений системы: $6x+7\cdot7+17=0$, т. е.
$6x+66=0$, откуда
$$x_0 = -11$$
5
Проверим: $6\cdot(-11)+7\cdot7+17=0$ и $4\cdot(-11)+5\cdot7+9=0$ — оба равенства верны.
Значит, система имеет единственное решение
$$(x_0;\,y_0)=(-11;\,7)$$
Пример 2. Решим систему $\begin{cases} x+2y-3=0 \\ -x+3y-7=0 \end{cases}$
Здесь коэффициенты при $x$ — это $1$ и $-1$. Они уже противоположны, поэтому
домножать ничего не нужно — сразу складываем уравнения.
1
Коэффициенты при $x$ ($1$ и $-1$) уже противоположны — уравнивать не требуется, система
остаётся в исходном виде:
$$\begin{cases} x+2y-3=0 \\ -x+3y-7=0 \end{cases}$$
2
Сложим левые и правые части уравнений почленно:
$$(x+2y-3)+(-x+3y-7)=0$$
3
Слагаемые с $x$ сократились ($x$ и $-x$ дали ноль). Приведём подобные и решим уравнение
с одной неизвестной $y$: $5y-10=0$, откуда
$$y_0 = 2$$
4
Подставим $y_0=2$ в первое уравнение системы: $x+2\cdot2-3=0$, т. е. $x+1=0$, откуда
$$x_0 = -1$$
5
Проверим: $-1+2\cdot2-3=0$ и $-(-1)+3\cdot2-7=0$ — оба равенства верны. Значит, система
имеет единственное решение
$$(x_0;\,y_0)=(-1;\,2)$$
⚠️ Частая ошибка: при вычитании одного уравнения из другого забывают поменять знак
у каждого слагаемого вычитаемого уравнения — не только у слагаемого с $x$, но и у слагаемого
с $y$, и у свободного члена. Например, в примере 1 неверно писать
$(12x+15y+27)-(12x+14y+34)=y-7$ «по кускам» без раскрытия скобок — нужно честно вычесть каждое
слагаемое: $15y-14y=y$ и $27-34=-7$. Если знак у $y$ или у числа потерять, корень уравнения
получится неверным.
🧠 Запомни: способ уравнивания коэффициентов — это четыре шага: 1) умножением на
числа уравнять коэффициенты при одной из переменных (например, при $x$) в обоих уравнениях;
2) вычесть уравнения (если коэффициенты равны) или сложить их (если коэффициенты противоположны) —
переменная $x$ исчезнет; 3) решить получившееся уравнение с одной неизвестной $y$; 4) подставить
найденное $y_0$ в любое уравнение системы и найти $x_0$. Пара $(x_0;\,y_0)$ — единственное решение
системы.