Мы уже дважды решали системы: способом подстановки (§10.3) и способом уравнивания коэффициентов
(§10.4). Оба способа на каждом шаге как-то меняют уравнения — переносят слагаемые, умножают
обе части на число, складывают уравнения между собой. Возникает законный вопрос: а не «портим» ли
мы систему такими преобразованиями — не появляются ли лишние решения, не теряются ли настоящие?
Чтобы ответить на этот вопрос, вводят понятие равносильности.
Определение. Два уравнения называют равносильными, если любое
решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго — решением первого.
Равносильны также два уравнения, каждое из которых вообще не имеет решений.
Иначе говоря, у равносильных уравнений набор решений — один и тот же, даже если сами уравнения
выглядят совершенно по-разному.
💡 Из жизни: представь два разных списка покупок, записанных разными словами —
«молоко, хлеб, яйца» и «яйца, хлеб, молоко». Списки выглядят по-разному (порядок слов другой), но
покупать нужно ровно одно и то же. Так и с равносильными уравнениями: форма записи разная, а
множество решений — одно и то же.
Какие преобразования уравнения не меняют набор его решений? В §10.3–10.4 мы уже пользовались тремя
такими правилами, не называя их по имени:
1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число,
получится уравнение, равносильное исходному. Например, уравнения
$2x-3y+1=0$ и $4x-6y+2=0$ равносильны.
2) Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв его знак, получится
уравнение, равносильное исходному. Например, уравнения
$5x-4y=3x-1$ и $5x-4y-3x+1=0$ равносильны.
3) Если в левой и правой частях уравнения привести подобные члены, получится уравнение,
равносильное исходному. Например, уравнения $2x-7+3x-4=y$ и
$5x-11=y$ равносильны.
Равносильные системы и противоречивая система
Понятие равносильности переносится и на системы уравнений — именно оно объясняет, почему способы
подстановки и сложения дают верный ответ.
Определение. Две системы уравнений называют равносильными, если
любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы
является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет
решений.
Отсюда следует важное правило, которым мы пользовались всё это время, даже не проговаривая его:
если одно из уравнений системы заменить другим, но равносильным ему уравнением, то
полученная система будет равносильна исходной. Именно поэтому можно спокойно домножать
уравнение системы на число или переносить его слагаемые — решения системы от этого не сдвинутся.
Систему, у которой нет ни одной пары чисел-решений, называют противоречивой системой.
В §10.2 мы уже видели этот случай: он получается, когда коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны,
а свободные члены — нет (графически это две параллельные
прямые, которые никогда не пересекаются).
💡 Ниже на примерах покажем, как понятие равносильности «на деле» доказывает, что система не имеет
решений (противоречива) или, наоборот, имеет их бесконечно много — переключай вкладки и шаги справа.
Пример 1. Докажем, что система противоречива
Решим систему $\begin{cases} x+y-1=0 \\ 2x+2y+3=0 \end{cases}$ (2), проверяя на каждом шаге, что
новая система равносильна предыдущей.
1
Разделим второе уравнение системы (2) на $2$ (правило 1 — умножение/деление на число $\ne 0$
даёт равносильное уравнение). Получим систему
$$\begin{cases} x+y-1=0 \\ x+y+\tfrac32=0 \end{cases}\ (3),$$
равносильную системе (2).
2
Перенесём свободные члены обоих уравнений системы (3) в правые части (правило 2). Получим
систему
$$\begin{cases} x+y=1 \\ x+y=-\tfrac32 \end{cases}\ (4),$$
равносильную системе (3), а значит, и системе (2).
3
Никакая пара чисел $(x;\,y)$ не может удовлетворять системе (4): одно и то же число $x+y$
не может одновременно равняться и $1$, и $-\tfrac32$. Значит, система (4) не имеет решений.
4
Система (4) равносильна системе (2) — значит, и система (2) тоже не имеет решений. Такую
систему называют противоречивой.
Пример 2. Система с бесконечным числом решений
Решим систему $\begin{cases} x+y+1=0 \\ 2x+2y+2=0 \end{cases}$ (5) — здесь коэффициенты пропорциональны
не только при $x$ и $y$, но и свободные члены: $1:2 = 1:2 = 1:2$.
1
Разделим второе уравнение системы (5) на $2$. Получим систему
$$\begin{cases} x+y+1=0 \\ x+y+1=0 \end{cases}\ (6),$$
равносильную системе (5).
2
В системе (6) оба уравнения — буквально одно и то же уравнение $x+y+1=0$. Значит, множество
решений системы (6) совпадает с множеством решений этого одного уравнения.
3
Уравнение $x+y+1=0$ имеет бесконечно много решений: $x$ — любое число, а $y=-x-1$.
4
Система (6) равносильна системе (5) — значит, у системы (5) тоже бесконечно много решений
вида $(x;\,-x-1)$, где $x$ — любое число.
⚠️ Частая ошибка: увидев в системе два «непохожих» уравнения, например
$x+y-1=0$ и $2x+2y+3=0$, школьники пытаются сразу же решать её способом подстановки или сложения,
не заметив, что коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны. В результате в какой-то момент
переменные полностью сокращаются и остаётся неверное числовое равенство вроде $0=5$ — это не ошибка
в вычислениях, а признак того, что система противоречива и решений у неё нет.
🧠 Запомни: уравнения (или системы) равносильны, если у них одинаковый набор
решений — даже если внешне они выглядят по-разному. Умножение/деление уравнения на число $\ne0$,
перенос слагаемого с переменой знака и приведение подобных членов — преобразования, которые не
меняют набор решений. Если, применяя такие преобразования к системе, дойти до уравнения вроде
$0=5$ (левая и правая части — разные числа) — система противоречива: решений нет.
Если дойти до верного равенства вроде $0=0$ — решений бесконечно много.