Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Когда в системе есть нулевые коэффициенты
Перенеся все члены системы в левые части и приведя подобные, любую систему двух линейных уравнений
с двумя неизвестными можно записать в виде
$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}\ (1),$$
где $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа.
Мы уже умеем решать такую систему способом подстановки (§10.3) и способом уравнивания коэффициентов
(§10.4), когда все коэффициенты при неизвестных $a_1, b_1, a_2, b_2$ отличны от нуля. Знаем и общий
вывод (§10.2): если коэффициенты при неизвестных непропорциональны — решение единственно; если
пропорциональны — решений либо бесконечно много, либо нет ни одного.
Остаётся рассмотреть случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю.
Такие системы решаются даже проще, чем в общем случае: одно из уравнений сразу же, без всякой
подстановки или сложения, даёт значение одной из переменных.
💡 Из жизни: обычная система — это как два условия сразу про два неизвестных числа,
которые приходится сопоставлять друг с другом. А если в одном из уравнений вторая переменная вообще
не участвует (коэффициент при ней — нуль), это уравнение превращается в прямое указание: «$x$ равен
вот этому числу» — как будто одно из двух условий задачи уже само сказало тебе ответ, без всяких
вычислений.
Ниже — четыре характерных примера: единственное решение через
подстановку, оба уравнения решаются независимо,
бесконечно много решений и
система без решений — переключай вкладки справа.
Пример 1. Один нулевой коэффициент — решаем подстановкой
Решим систему $\begin{cases} 3x+1=0 \\ 2x+y-5=0 \end{cases}$ (2). Второе уравнение имеет оба
коэффициента при неизвестных, отличные от нуля, а первое — коэффициент при $x$ отличен от нуля, а
коэффициент при $y$ равен нулю (переменной $y$ в первом уравнении попросту нет).
1
Первое уравнение содержит только $x$ — сразу находим его из него: $3x+1=0 \Rightarrow
x=-\tfrac13$.
2
Подставим найденное значение $x=-\tfrac13$ во второе уравнение:
$2\left(-\tfrac13\right)+y-5=0$.
3
Решим полученное уравнение с одной неизвестной: $-\tfrac23+y-5=0 \Rightarrow y=5\tfrac23$.
4
Пара чисел $\left(-\tfrac13;\ 5\tfrac23\right)$ — единственное решение системы (2). Заметь: не
пришлось ни выражать $y$ через $x$, ни складывать уравнения — первое уравнение и так уже почти
готовый ответ.
Пример 2. Оба уравнения решаются независимо
Решим систему $\begin{cases} 5x-1=0 \\ 3y+2=0 \end{cases}$ (3). Здесь в первом уравнении нет $y$
($b_1=0$), а во втором нет $x$ ($a_2=0$) — переменные полностью «разъехались» по разным уравнениям.
1
Из первого уравнения находим $x$: $5x-1=0 \Rightarrow x=\tfrac15$.
2
Из второго уравнения находим $y$: $3y+2=0 \Rightarrow y=-\tfrac23$.
3
Подставлять одно в другое вообще не нужно — каждое уравнение само по себе уже определяет одну
переменную. Единственное решение системы (3): пара чисел $\left(\tfrac15;\ -\tfrac23\right)$.
Пример 3. Бесконечно много решений
Решим систему $\begin{cases} 2y+3=0 \\ y+\tfrac32=0 \end{cases}$ (4). Здесь коэффициент при $x$ равен
нулю в обоих уравнениях ($a_1=0$ и $a_2=0$) — переменная $x$ в записи системы вообще не
участвует.
1
Из первого уравнения: $2y+3=0 \Rightarrow y=-\tfrac32$.
2
Из второго уравнения: $y+\tfrac32=0 \Rightarrow y=-\tfrac32$ — то же самое значение $y$.
3
Оба уравнения на самом деле требуют от $y$ одного и того же — а про $x$ не говорят вообще
ничего, значит $x$ может быть любым числом.
4
Решения системы (4) записываются в виде пар $\left(x;\ -\tfrac32\right)$, где $x$ — любое
число. Значит, у системы бесконечно много решений.
Пример 4. Система без решений
Решим систему $\begin{cases} x-2=0 \\ 2x-5=0 \end{cases}$ (5). Здесь коэффициент при $y$ равен нулю в
обоих уравнениях — переменная $y$ не участвует вовсе, и оба уравнения говорят про одно и то же
число $x$.
Из первого уравнения $x=2$, из второго — $x=\tfrac52$. Но $x$ не может одновременно
равняться и $2$, и $\tfrac52$ — это противоречие. Значит, система (5) не имеет решений: она
противоречива.
💡 Общий случай такого противоречия: если в системе одно уравнение вообще не содержит неизвестных —
имеет вид $0\cdot x+0\cdot y+c_2=0$ — то при $c_2\ne0$ такая система всегда противоречива (равенство
$c_2=0$ неверно ни при каких $x$ и $y$). А если $c_2=0$, второе уравнение верно всегда — тогда
решения системы совпадают с решениями одного только первого уравнения.
⚠️ Частая ошибка: увидев систему вроде (2) или (3), школьники по привычке начинают
выражать переменную из уравнения, где коэффициентов при ней вообще нет, либо пытаются складывать
уравнения — вместо того чтобы сразу прочитать готовый ответ там, где он уже есть. Если в уравнении
одна из переменных отсутствует (её коэффициент равен нулю) — это уравнение с одной
неизвестной, и решать его нужно как обычное уравнение первой степени, а не как часть системы двух
переменных.
🧠 Запомни: если в уравнении системы коэффициент при переменной равен нулю —
переменная в этом уравнении просто отсутствует, и уравнение сразу даёт значение оставшейся
переменной. Если так устроено только одно уравнение системы — решаем подстановкой (пример 1). Если
так устроены оба уравнения и они дают одно и то же значение — решений бесконечно много (пример 3);
если разные значения одной и той же переменной — решений нет, система противоречива (пример 4).