О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (углублённый материал)
Зачем нужна общая теорема
В §10.2, §10.5 и §10.6 мы уже видели на конкретных примерах: у системы двух линейных уравнений
решений может быть одно, ни одного или бесконечно много — и это зависело от того, как
коэффициенты одного уравнения соотносятся с коэффициентами другого. Пункт 10.7* (отмечен
звёздочкой как необязательный, но полезный материал) объясняет это раз и навсегда:
не на отдельных числах, а общим доказательством — почему именно так, а не иначе.
💡 Из жизни: представь два условия про одно и то же: «расходы растут вдвое быстрее
доходов» — и «расходы растут втрое быстрее доходов». Если коэффициенты роста разные — рано или
поздно найдётся ровно один момент, когда обе фразы окажутся верны одновременно. А если оба условия
говорят про рост с одинаковым коэффициентом — они либо описывают буквально одно и то же
(и тогда верны всегда, для любого момента), либо противоречат друг другу (и не могут быть верны
никогда). Третьего не дано — и этот факт можно доказать заранее, не зная конкретных чисел.
Запишем систему в общем виде, перенеся все члены в левые части:
$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}\ (1),$$
считая, что все шесть коэффициентов $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ отличны от нуля (случаи с нулевыми
коэффициентами разобраны в §10.6).
Теорема о числе решений
Теорема. Система (1):
а) имеет единственное решение, если $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$;
б) не имеет решений, если $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$;
в) имеет бесконечно много решений, если
$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.
Доказательство опирается на приём, который мы уже применяли в способе подстановки. Из первого
уравнения выразим $x$: $x=\dfrac{-c_1-b_1y}{a_1}$ (это возможно, так как $a_1\ne0$). Подставим
это выражение вместо $x$ во второе уравнение системы (1) — после преобразований получится
уравнение с одной неизвестной $y$:
$$(a_1b_2-a_2b_1)y+a_1c_2-a_2c_1=0.\ (2)$$
Уравнение (2) — обычное линейное уравнение с одной неизвестной $y$, и мы отлично знаем (§9.1),
сколько у него может быть корней в зависимости от коэффициента при $y$. Дальше — три
шага доказательства, разбирающих все возможные случаи.
1
Если $a_1b_2-a_2b_1\ne0$, уравнение (2) имеет единственный корень $y$ — значит, и система (1)
имеет единственное решение. Так как $a_2\ne0$ и $b_2\ne0$, это условие равносильно записи
$\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ (перекрёстное умножение неравенства).
2
Если $a_1b_2-a_2b_1=0$, но $a_1c_2-a_2c_1\ne0$ — коэффициент при $y$ в (2) равен нулю, а
свободный член нет: такое уравнение не имеет корней ни при каком $y$. Значит,
и система (1) не имеет решений. Это равносильно
$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$.
3
Если $a_1b_2-a_2b_1=0$ и $a_1c_2-a_2c_1=0$ — уравнение (2) превращается в верное
равенство $0=0$ при любом $y$. Значит, система (1) имеет бесконечно много
решений вида $\left(\dfrac{-c_1-b_1y}{a_1};\ y\right)$, где $y$ — любое число. Это равносильно
$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.
🧠 Иначе говоря: сравнение $\dfrac{a_1}{a_2}$ и $\dfrac{b_1}{b_2}$ решает, единственно ли решение.
А если они равны — судьбу системы (нет решений или бесконечно много) решает уже сравнение с
$\dfrac{c_1}{c_2}$.
Пример 1. Определяем число решений, не решая систему
Определим число решений трёх систем, только сравнивая коэффициенты — переключай вкладки справа,
чтобы увидеть, как выглядят прямые в каждом случае.
а) $\begin{cases}5x+2y+13=0\\10x-4y+26=0\end{cases}$.
Проверяем: $\dfrac{5}{10}=\dfrac12$, а $\dfrac{2}{-4}=-\dfrac12$. Так как $\dfrac12\ne-\dfrac12$,
по пункту а) теоремы — единственное решение.
б) $\begin{cases}5x+4y+7=0\\10x+8y+14=0\end{cases}$.
Проверяем: $\dfrac{5}{10}=\dfrac12$, $\dfrac{4}{8}=\dfrac12$, $\dfrac{7}{14}=\dfrac12$ — все три
отношения равны. По пункту в) теоремы — бесконечно много решений (второе уравнение — это первое,
умноженное на 2).
в) $\begin{cases}7x-3y-13=0\\21x-9y-28=0\end{cases}$.
Проверяем: $\dfrac{7}{21}=\dfrac13$, $\dfrac{-3}{-9}=\dfrac13$ — равны, но $\dfrac{-13}{-28}=\dfrac{13}{28}\ne\dfrac13$.
По пункту б) теоремы — решений нет.
Пример 2. При каком значении $a$ система не имеет решений?
Дана система $\begin{cases}4x-ay+3=0\\x+2y-2=0\end{cases}$. Найдём, при каком $a$ она не имеет
решений — не решая систему целиком, а только через критерий из пункта б) теоремы.
1
По теореме, решений нет, если $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$. Здесь
$a_1=4,\ b_1=-a,\ c_1=3,\ a_2=1,\ b_2=2,\ c_2=-2$.
2
Составим равенство первых двух отношений: $\dfrac{4}{1}=\dfrac{-a}{2}$. Отсюда
$-a=8 \Rightarrow a=-8$.
3
Проверим третье отношение при $a=-8$: $\dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{3}{-2}$. Сравним с
$\dfrac{4}{1}=4$: действительно, $4\ne-\dfrac32$ — условие «не равно» выполняется.
4
Значит, система не имеет решений только при $a=-8$ — и это единственное
такое значение, потому что уравнение $\dfrac41=\dfrac{-a}2$ имеет единственный корень.
⚠️ Частая ошибка: школьники проверяют только равенство $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}$
и, увидев, что оно выполняется, сразу пишут «бесконечно много решений» — забывая, что это
равенство само по себе решает только вопрос «единственно решение или нет». Чтобы различить
«решений нет» и «решений бесконечно много», обязательно нужно ещё сравнить с $\dfrac{c_1}{c_2}$.
Без этой третьей проверки ответ может оказаться неверным ровно в половине случаев.
🧠 Запомни: для системы $\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$
(все коэффициенты отличны от нуля):
$$\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\ \Rightarrow\ \text{решение единственно};$$
$$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}\ \Rightarrow\ \text{решений нет};$$
$$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}\ \Rightarrow\ \text{решений бесконечно много}.$$