Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными (углублённый материал)
Уравнение с тремя неизвестными
Мы уже умеем решать системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
(§10.3–§10.6). Пункт 10.8* (отмечен звёздочкой как необязательный, но полезный материал)
показывает: тот же самый способ подстановки прекрасно работает и для системы
трёх уравнений с тремя неизвестными — надо лишь на один
шаг больше.
Определение. Уравнение вида $ax+by+cz+d=0$, где $a,b,c,d$ — данные числа,
причём хотя бы одно из чисел $a,b,c$ не равно нулю, а $x,y,z$ — неизвестные, называют
уравнением первой степени с тремя неизвестными.
Тройку чисел $(x_0;y_0;z_0)$ называют решением такого уравнения, если при
подстановке $x_0$ вместо $x$, $y_0$ вместо $y$ и $z_0$ вместо $z$ уравнение превращается в
верное числовое равенство.
💡 Из жизни: представь, что нужно узнать цены трёх разных товаров — например,
яблока, груши и банана — а известны только три чека, где эти фрукты куплены в разных
сочетаниях и указана только общая сумма каждого чека. Одного чека мало, двух — тоже мало
(слишком много вариантов подходит), а вот ровно три независимых чека дают ровно одну
разгадку цен — если, конечно, чеки действительно независимы друг от друга.
Если дано три таких уравнения с одними и теми же неизвестными $x,y,z$ — говорят, что дана
система трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными. Решить её —
значит найти все тройки $(x;y;z)$, которые одновременно удовлетворяют всем трём уравнениям,
или доказать, что таких троек нет.
Идея решения: сведение к уже знакомой системе
Способ подстановки, которым мы решали системы двух уравнений (§10.3), обобщается на три
уравнения почти без изменений — вот в чём его идея.
🧠 Алгоритм. 1) Из одного уравнения (обычно самого простого) выражаем одну неизвестную через две
оставшиеся.
2) Подставляем это выражение в оставшиеся два уравнения — неизвестная, которую мы
выразили, из них исчезает, и получается система двух уравнений с
двумя неизвестными (уже знакомая нам по §10.3–§10.6).
3) Решаем эту систему двух уравнений любым известным способом — находим значения
оставшихся двух неизвестных.
4) Подставляем найденные значения в выражение из шага 1 — находим третью неизвестную.
Ниже — полный разбор примера из учебника: система
$\begin{cases}2x-3y+z-1=0\\3x-4y-z+2=0\\x-y+z=0\end{cases}$
решена по этому алгоритму шаг за шагом. Нажимай кнопку, чтобы раскрывать шаги по очереди —
справа будет подсвечиваться, на каком этапе алгоритма мы находимся.
1
Из третьего уравнения $x-y+z=0$ выражаем $x$ через $y$ и $z$ — оно самое простое, все
коэффициенты равны $\pm1$: $$x=y-z.\ (4)$$
2
Подставляем $y-z$ вместо $x$ в первое и второе уравнения:
$$\begin{cases}2(y-z)-3y+z-1=0\\3(y-z)-4y-z+2=0\end{cases}$$
После приведения подобных членов ($x$ исчезло из обоих уравнений) получаем систему
двух уравнений с двумя неизвестными $y$ и $z$:
$$\begin{cases}-y-z-1=0\\-y-4z+2=0\end{cases}\ (5)$$
3
Систему (5) решаем способом сложения (§10.4): вычтем первое уравнение из второго —
$y$ сократится: $(-y-4z+2)-(-y-z-1)=0 \Rightarrow -3z+3=0 \Rightarrow z_0=1$.
Подставим $z_0=1$ в первое уравнение системы (5): $-y-1-1=0 \Rightarrow y_0=-2$.
4
Подставляем найденные $y_0=-2$ и $z_0=1$ в выражение (4): $x_0=y_0-z_0=-2-1=-3$.
Итак, система имеет единственное решение: $x_0=-3,\ y_0=-2,\ z_0=1$.
Проверка результата
Хорошая привычка — подставить найденную тройку $(-3;-2;1)$ во все три исходных уравнения и
убедиться, что каждое превращается в верное равенство:
Все три равенства верны — значит, тройка $(-3;-2;1)$ действительно решение системы, и по
ходу решения мы её нашли единственным образом.
🧠 Если система двух уравнений (шаг 3 алгоритма) не имеет решений — исходная система
(с тремя неизвестными) тоже не имеет решений. Если та система имеет бесконечно много
решений — исходная система также имеет бесконечно много решений. Подобным образом решают
системы уравнений первой степени с четырьмя, пятью и т. д. неизвестными.
⚠️ Частая ошибка: ученики выражают неизвестную из одного уравнения, но
подставляют её только в одно из оставшихся двух уравнений, забывая про третье —
и в итоге у них остаётся система из уравнения с одной неизвестной и уравнения, где
«случайно» осталось три буквы. Подставлять выраженную неизвестную нужно
в оба оставшихся уравнения — только тогда обе оставшиеся неизвестные
сведутся в систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы умеем решать.
🧠 Запомни: система трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными
решается тем же способом подстановки, что и система с двумя неизвестными — просто на один
шаг длиннее:
выразили одну неизвестную → подставили в оба оставшихся уравнения → получили систему
2×2 → решили её → нашли третью неизвестную обратной подстановкой.