Решение задач при помощи систем уравнений первой степени
От одного неизвестного — к двум
В §9.4 мы решали текстовые задачи, обозначая через $x$ одно неизвестное и
составляя одно уравнение. Но если в задаче удобнее и естественнее искать
сразу два неизвестных количества — их можно обозначить двумя буквами,
$x$ и $y$, и вместо одного уравнения составить два: получится система
двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать способом
подстановки (§10.3) или способом сложения (§10.4).
1. Обозначить буквами $x$ и $y$ два неизвестных количества, которые
нужно найти в задаче.
2. Выразить через $x$ и $y$ все остальные величины, о которых
говорится в условии.
3. Составить два уравнения — каждое по своей,
независимой части условия задачи.
4. Решить получившуюся систему двух уравнений первой степени
(способом подстановки или сложения).
5. Проверить, соответствуют ли найденные $x_0$ и
$y_0$ смыслу задачи, а не только уравнениям, и записать ответ.
💡 Из жизни: представь, что нужно узнать сразу два числа — например,
сколько овец у каждого из двух пастухов, или сколько времени в пути у велосипедиста и
у автомобилиста. Одного условия («столько-то вместе») обычно мало, чтобы найти оба числа
поодиночке — а вот два независимых условия дают ровно два уравнения, и система решает
задачу однозначно.
Пример 1. Старинная задача про пастухов
Сошлись два пастуха, Иван да Пётр. Иван говорит Петру: «Отдай-ка мне одну овцу, тогда у
меня будет овец вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет! Лучше ты отдай мне
одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?
1
Обозначим: у Ивана было $x$ овец,
а у Петра — $y$ овец.
2
Если бы Пётр отдал Ивану одну овцу: у Петра стало бы $(y-1)$, у Ивана — $(x+1)$,
и по условию у Ивана тогда стало бы вдвое больше, чем у Петра:
$$x+1=2(y-1)\quad(1)$$
3
Если бы, наоборот, Иван отдал Петру одну овцу: у Ивана осталось бы $(x-1)$, у Петра
стало бы $(y+1)$, и по условию овец стало бы поровну:
$$x-1=y+1\quad(2)$$
4
Решаем систему $(1)$–$(2)$ способом подстановки (§10.3). Из уравнения $(2)$
выражаем $x=y+2$. Подставляем в $(1)$: $(y+2)+1=2(y-1)$, откуда $y+3=2y-2$, значит
$y_0=5$. Тогда
$x_0=5+2=7$.
5
Проверка по смыслу задачи: если Пётр отдаст Ивану овцу — у Ивана станет $8$, у
Петра $4$, действительно $8=2\cdot4$; если Иван отдаст Петру овцу — у обоих станет по
$6$. Оба числа целые и положительные. Ответ: у Ивана было 7 овец, у Петра —
5 овец.
Пример 2. Велосипедист и автомобилист
Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал велосипедист, а через четверть часа за ним выехал
автомобилист. На половине пути от $A$ до $B$ автомобилист догнал велосипедиста. Когда
автомобилист прибыл в пункт $B$, велосипедисту осталось проехать ещё треть пути. Какое
время затратили на путь от $A$ до $B$ велосипедист и автомобилист, если известно, что их
скорости постоянны?
1
Обозначим: пусть велосипедист проезжает весь путь $A$–$B$ за
$x$ минут, а автомобилист — за
$y$ минут.
2
На полпути велосипедист тратит $\dfrac{x}{2}$ мин, автомобилист — $\dfrac{y}{2}$
мин. Они оказались там одновременно, хотя автомобилист выехал на 15 минут позже —
значит, велосипедист был в пути на 15 минут дольше:
$$\frac{x}{2}-\frac{y}{2}=15\quad(1)$$
3
К моменту прибытия автомобилиста в $B$ велосипедист был в пути $(y+15)$ минут (на
15 больше, чем ехал автомобилист) и проехал за это время $\dfrac23$ всего пути, то
есть потратил на этот путь $\dfrac23 x$ минут:
$$y+15=\frac{2}{3}x\quad(2)$$
4
Умножаем $(1)$ на 2, а $(2)$ переписываем как есть: $x-y=30$, значит $x=y+30$.
Подставляем в $(2)$: $y+15=\dfrac23(y+30)$, откуда $3y+45=2y+60$, значит
$y_0=15$. Тогда $x_0=15+30=45$.
5
Проверка по смыслу задачи: на полпути велосипедист был в пути $45/2=22{,}5$ мин,
автомобилист — $15/2=7{,}5$ мин, разница действительно $15$ мин; к моменту прибытия
автомобилиста ($15$ мин) велосипедист в пути $30$ мин, это $\dfrac{30}{45}=\dfrac23$
пути — верно. Ответ: велосипедист затратил 45 минут, автомобилист —
15 минут.
⚠️ Частая ошибка: ученики составляют только одно уравнение по
одной части условия и пытаются сразу найти обе неизвестные из него одного — но одно
уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений, найти $x$ и $y$ по
отдельности так нельзя. Нужно обязательно найти в условии вторую,
независимую часть — и составить по ней второе уравнение, только тогда система даст
единственный ответ. Другая частая ошибка — забыть проверить найденные $x_0$ и $y_0$ по
смыслу задачи (например, время или количество овец не может быть отрицательным).
🧠 Запомни: если в задаче удобно искать сразу два неизвестных
количества — обозначь их $x$ и $y$, найди в условии две независимые
связи между ними и запиши каждую отдельным уравнением. Получившуюся систему решай
способом подстановки или сложения (§10.3–§10.4), а затем обязательно проверь оба
найденных числа по смыслу задачи, прежде чем записать ответ.