Уравнение первой степени с двумя неизвестными $ax+by=c$ (§10.1) обычно имеет
бесконечно много решений — пар чисел $(x_0;y_0)$, причём $x_0$ и $y_0$
могут быть любыми действительными числами. Но иногда по смыслу задачи нужны не любые,
а только целые $x_0$ и $y_0$ — например, число монет или число птиц не
может быть дробным.
Определение. Пусть дано уравнение $ax+by=c$ $(a\ne0,\ b\ne0)$, коэффициенты
которого $a$, $b$ и $c$ — целые числа. Если поставлена задача найти только такие его
решения $(x_0;y_0)$, где $x_0$ и $y_0$ — целые числа, то такое уравнение называют
линейным диофантовым уравнением.
Например, уравнение $2x+3y=1$ — это
линейное диофантово уравнение, если ищем только его целые решения.
💡 Из жизни: если платить за покупку монетами по 2 р. и 5 р., число монет
каждого вида — обязательно целое (нельзя дать «половину монеты»). Значит, уравнение вида
«$2\cdot(\text{монет по 2 р.})+5\cdot(\text{монет по 5 р.})=\text{сумма}$» нужно решать
именно в целых числах — это и есть линейное диофантово уравнение.
Когда решения существуют, и как найти все сразу
Не любое такое уравнение вообще имеет целые решения. Известный факт теории чисел
(см. НОД и алгоритм Евклида, Дополнения к главе 1): уравнение $ax+by=c$ с целыми
$a$, $b$, $c$ имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $c$ делится
нацело на $\text{НОД}(a,b)$. В частности, если $a$ и $b$ взаимно просты
(их $\text{НОД}(a,b)=1$), то целочисленное решение существует при любом
целом $c$ — как в обеих задачах ниже, где $\text{НОД}(2,3)=1$ и $\text{НОД}(2,5)=1$.
Найти все целые решения удобно так: выразить одну неизвестную через другую и определить,
при каком условии на параметр она становится целой. Это условие всегда даёт формулу вида
«неизвестная делится на такое-то число» — вводим новую целую переменную $n$ (в учебнике
она называется $x_1$), и тогда обе неизвестные записываются через $n$ —
это и есть общая формула сразу всех решений уравнения.
Пример 1. Решаем $2x+3y=6$
Найдём все пары целых чисел $(x;y)$, при которых $2x+3y=6$.
1
Выразим $y$ через $x$: $2x+3y=6 \Rightarrow y=2-\dfrac{2}{3}x$.
2
Число $y$ будет целым только тогда, когда $\dfrac{2}{3}x$ — целое число, то есть
когда $x$ делится на 3 нацело. Обозначим $x=3n$,
где $n$ — любое целое число.
$$x=3n,\qquad y=2-2n$$
3
Значит, решениями уравнения являются все пары чисел $(3n;\,2-2n)$,
где $n$ — любое целое число. Их бесконечно много.
4
Частные решения: при $n=0$ —
пара $(0;2)$; при $n=1$ — пара
$(3;0)$; и так далее для любого целого $n$.
Задача 2. Монеты по 2 р. и 5 р.
У покупателя и продавца есть монеты только по 2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить
за покупку стоимостью 1 р.?
1
Пусть покупатель даёт $x$ монет по
2 р. и $y$ монет по 5 р. Тогда он
«платит» $(2x+5y)$ р., и по условию это должно равняться 1 р.:
$$2x+5y=1$$
2
Выразим $x$ через $y$: $x=-2y+\dfrac{1-y}{5}$. Число $x$ целое только тогда, когда
$y$ — нечётное число: $y=2n+1$, где $n$ — целое число. Тогда
$x=-5n-2$.
$$x=-5n-2,\qquad y=2n+1$$
3
Способов оплаты бесконечно много. Если $x$ получается отрицательным — это значит,
что покупатель не даёт монеты по 2 р., а наоборот, получает $|x|$
таких монет сдачи.
4
Например, при $n=0$ — пара
$(-2;1)$: покупатель дал 1 монету по 5 р. и получил сдачу 2 монеты по 2 р. При
$n=-1$ — пара $(3;-1)$: покупатель
дал 3 монеты по 2 р. и получил сдачу 1 монету по 5 р. Ответ: да, способов
бесконечно много.
⚠️ Частая ошибка: ученики находят одну пару $(x_0;y_0)$ и считают
задачу решённой — но у линейного диофантова уравнения решений либо нет вовсе, либо сразу
бесконечно много: одно частное решение — это лишь один из них. Отвечать
нужно общей формулой через параметр $n$ (например, $x=3n,\ y=2-2n$), а не одной парой
чисел. Другая ошибка — подставлять в эту формулу нецелое $n$ (например, $n=0{,}5$): тогда
$x$ и $y$ перестают быть целыми и уже не являются решением диофантова уравнения.
🧠 Запомни: линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ — это уравнение с
целыми коэффициентами, в котором ищут только целые $x$ и $y$. Чтобы найти
все его решения: 1) выразить одну неизвестную через другую; 2) определить, при каком
условии на $x$ (или $y$) она становится целой; 3) ввести целый параметр $n$ и записать
через него обе неизвестные — полученная пара формул $(x(n);\,y(n))$ и есть ответ сразу для
всех целых решений уравнения.