Мы уже умеем решать системы двух уравнений способом подстановки (§10.3) и способом
сложения — его ещё называют способом уравнивания коэффициентов (§10.4):
одно уравнение умножают на число так, чтобы при сложении с другим уравнением одна из
неизвестных сократилась. А в п.10.8* мы решали систему из трёх уравнений
с тремя неизвестными способом подстановки, сводя её к уже знакомой системе 2×2
(см. тему про системы с тремя неизвестными).
Метод Гаусса, названный в честь немецкого математика Карла Гаусса
(1777—1855), — это способ сложения, применённый систематически: с его помощью
последовательно, одну за другой, исключают неизвестные из уравнений, пока система не
станет совсем простой.
💡 Из жизни: представь три весов с гирьками разного веса, соединённых
так, что каждая последующая гиря зависит от предыдущей. Раскрутить такую цепочку проще
всего с конца — сначала находишь самую простую (последнюю) величину, а дальше по цепочке
поднимаешься наверх. Метод Гаусса сначала «упрощает цепочку» (превращает систему в такую
удобную форму), а потом «раскручивает» её с конца.
Системы «треугольного» вида
Посмотрим на систему $\begin{cases}2x+3y-z=5\\2y+z=7\\5z=15\end{cases}$.
В каждом следующем уравнении на одну неизвестную меньше, чем в предыдущем: в первом — все
три ($x,y,z$), во втором — только две ($y,z$), в третьем — одна ($z$). Такие системы
называют системами «треугольного» вида.
Определение. Систему уравнений называют системой «треугольного» вида,
если в каждом следующем уравнении на одну неизвестную меньше, чем в предыдущем — начиная
с уравнения, где присутствуют все неизвестные, и заканчивая уравнением с одной
неизвестной.
Такую систему легко решить, начиная с самого простого (последнего) уравнения: из
$5z=15$ находим $z=3$; подставив $z=3$ во второе уравнение, находим $y=2$; подставив
$z=3$ и $y=2$ в первое, находим $x=1$. Система имеет единственное решение $(1;\,2;\,3)$.
🧠 Метод Гаусса состоит из двух частей: сначала произвольную систему
приводят к «треугольному» виду — это называют прямым ходом; а затем
решают полученную треугольную систему снизу вверх, как показано выше — это называют
обратным ходом.
Пример. Решаем методом Гаусса
Решим систему $\begin{cases}-5x+3y-z=-7\\2x-5y+4z=-8\\3x+4y-2z=12\end{cases}$,
которая заранее не имеет треугольного вида — приведём её к нему шаг за шагом.
1
Прямой ход. В первом уравнении коэффициент при $z$ равен $-1$ — удобно
использовать его, чтобы исключить $z$ из второго и третьего уравнений. Умножим первое
уравнение на $4$ и сложим со вторым — $z$ сократится: получаем $-18x+7y=-36$. Умножим
первое уравнение на $-2$ и сложим с третьим — $z$ снова сократится: получаем
$13x-2y=26$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}-5x+3y-z=-7\\-18x+7y=-36\\13x-2y=26\end{cases}$$
2
Теперь среди двух новых уравнений исключим $y$: умножим уравнение $-18x+7y=-36$ на
$2$, а уравнение $13x-2y=26$ — на $7$, и сложим их. Слагаемые с $y$ сократятся, и
получится $55x=110$. Система приняла треугольный вид — прямой ход завершён:
$$\begin{cases}-5x+3y-z=-7\\-18x+7y=-36\\55x=110\end{cases}$$
3
Обратный ход начинаем снизу. Из третьего уравнения $55x=110$ находим
$x_0=2$. Подставляем $x_0=2$ во второе уравнение: $-18\cdot2+7y=-36 \Rightarrow
-36+7y=-36 \Rightarrow y_0=0$.
4
Подставляем $x_0=2$ и $y_0=0$ в первое уравнение: $-5\cdot2+3\cdot0-z=-7 \Rightarrow
-10-z=-7 \Rightarrow z_0=-3$. Итак, система имеет единственное решение:
$x_0=2,\ y_0=0,\ z_0=-3$.
Проверка результата
Подставим тройку $(2;\,0;\,-3)$ во все три исходных уравнения и убедимся, что каждое
превращается в верное равенство:
Все три равенства верны — значит, тройка $(2;\,0;\,-3)$ действительно единственное
решение системы.
🧠 Тем же способом — прямым ходом исключая неизвестные одну за другой, а затем обратным
ходом находя их снизу вверх — метод Гаусса решает системы с любым числом уравнений и
неизвестных, а не только с тремя.
⚠️ Частая ошибка: при исключении неизвестной ученики складывают уравнения
не с теми множителями и получают в сумме не ноль, а какое-то слагаемое с исключаемой
буквой. Перед сложением обязательно проверяй: коэффициенты при исключаемой неизвестной в
обоих уравнениях должны стать противоположными числами (например, $-4$ и
$4$), иначе она не сократится.
🧠 Запомни: метод Гаусса = прямой ход (последовательно исключаем
неизвестные, пока система не примет треугольный вид) + обратный ход (находим неизвестные
снизу вверх, подставляя уже найденные значения в предыдущие уравнения).