Алгебра · 8 класс · Глава I · § 2 · п. 2.2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала — общий знаменатель

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к уже знакомому случаю одинаковых знаменателей. Для этого дроби приводят к общему знаменателю — ровно так же, как в 6 классе поступали с обыкновенными дробями.

📐 Как найти общий знаменатель1) Разложить каждый знаменатель на множители. 2) В общий знаменатель включить каждый множитель хотя бы один раз, а если множитель встречается в разных знаменателях с разными степенями — взять его с наибольшей степенью. 3) Разделив общий знаменатель на знаменатель каждой дроби, найти дополнительный множитель этой дроби. 4) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Перетяни бегунки в интерактиве справа: доли первой дроби и доли второй разного размера, поэтому напрямую их не сложить. Обе полоски приведены к общей разметке из 12 долей — и только теперь клетки складываются.

Пример 1. Сложим дроби $\tfrac{x}{4a^3b}$ и $\tfrac{5}{6ab^4}$. Знаменатели — одночлены, простейший общий знаменатель $12a^3b^4$: коэффициент 12 — это НОК чисел 4 и 6, а каждая переменная взята с наибольшим показателем. Дополнительные множители равны $3b^3$ и $2a^2$:

$$\dfrac{x}{4a^3b}+\dfrac{5}{6ab^4}=\dfrac{3b^3x}{12a^3b^4}+\dfrac{10a^2}{12a^3b^4}=\dfrac{3b^3x+10a^2}{12a^3b^4}$$

💡 Из жизниОбщий знаменатель — это общая мерная единица. Нельзя напрямую сложить «2 дольки от плитки на 4 части» и «3 дольки от плитки на 6 частей»: сначала обе плитки нужно разрезать на дольки одного размера, и только потом считать штуки. Именно это и делает приведение к общему знаменателю.

Знаменатели раскладываем на множители

Если знаменатели — многочлены, общий знаменатель почти никогда не равен их произведению. Сначала раскладываем каждый знаменатель на множители — и общий знаменатель обычно оказывается заметно короче.

1
Преобразуем разность $\tfrac{a+3}{a^2+ab}-\tfrac{b-3}{ab+b^2}$. Раскладываем знаменатели: $a^2+ab=a(a+b)$,   $ab+b^2=b(a+b)$.
2
Простейший общий знаменатель — $ab(a+b)$. Дополнительные множители дробей: $b$ для первой и $a$ для второй.
3
Приводим к общему знаменателю, числители обязательно берём в скобки: $\tfrac{(a+3)b-(b-3)a}{ab(a+b)}$.
4
Раскрываем скобки и приводим подобные: $\tfrac{ab+3b-ab+3a}{ab(a+b)}=\tfrac{3(a+b)}{ab(a+b)}=\tfrac{3}{ab}$.

Целое выражение плюс дробь

Если складывают или вычитают целое выражение и дробь, целое выражение записывают в виде дроби со знаменателем 1 — и дальше действуют по обычному правилу.

Пример 3. Упростим выражение $a-1-\tfrac{a^2-3}{a+1}$:

$$\dfrac{a-1}{1}-\dfrac{a^2-3}{a+1}=\dfrac{(a-1)(a+1)-(a^2-3)}{a+1}=\dfrac{a^2-1-a^2+3}{a+1}=\dfrac{2}{a+1}$$

⚠️ Частая ошибкаПри переходе к общему знаменателю умножают на дополнительный множитель только первое слагаемое числителя, забыв взять весь числитель в скобки. В примере $\tfrac{a+3}{a(a+b)}-\tfrac{b-3}{b(a+b)}$ числитель второй дроби после приведения — это $(b-3)\cdot a$, а не $b-3\cdot a$: без скобок теряется знак у $3a$, и ответ получится неверным.
🧠 ЗапомниРазные знаменатели — сначала раскладываем каждый знаменатель на множители, берём каждый множитель с наибольшей степенью, находим дополнительные множители делением общего знаменателя на знаменатель дроби. Числитель каждой дроби при этом берём в скобки. После приведения задача превращается в сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Целое выражение — это дробь со знаменателем 1.
← Глава I · § 2 · п. 2.1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Все темы Глава I · § 3 · п. 3.1 → Умножение дробей. Возведение дроби в степень
$\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{6}=\dfrac{3a}{12}+\dfrac{2b}{12}=\dfrac{3a+2b}{12}$
a = 1,   b = 2,   3a+2b = 7
Перетяни бегунки — общий знаменатель здесь 12 (НОК чисел 4 и 6)